线性代数课程结合几何直观的启发式教学法探讨

夏春光

摘要：线性代数课程的概念，定理和方法具有很强的逻辑性和抽象性。本文探讨线性代数课程中结合几何直观的启发式教学方法。利用对行列式、线性相关性、线性方程组、施密特正交化等重要概念，定理和方法的几何直观解释，教师可激发学生学习兴趣，启发学生自我思考，从而提升学生的抽象思维能力。

关键词：线性代数；启发式教学；几何直观

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-1580（2017）09-0046-03

线性代数是高等院校的一门重要的数学基础课程，此课程的特点是其概念，定理和方法具有很强的逻辑性和抽象性。对于只接受过初等代数训练的学生来说，普遍感到要深入理解并掌握课程的概念、理论和方法比较吃力。相比较代数理论推导，直观的几何解释更容易被学生所接受。事实上，空间解析几何实际上研究的是三维线性代数，而一般的N维线性代数可看作是N维的解析几何。从几何的观点来看待线性代数中的概念和理论会显得更自然，几何直观解释可以让学生更容易理解线性代数中的抽象概念，比如：线性空间中的基本运算实际上就是向量的线性运算，线性相关的概念可以看作是向量共线、共面概念的推广，二次型理论源自于二次曲线、二次曲面理论等。

启发式教学是指教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律，从学生的实际出发，采用多种方式，以启发学生的思维为核心，调动学生学习的主动性和积极性，促使他们生动活泼地学习的一种教学指导思想。启发式教学的关键在于设置问题情境。下面我们以线性代数中行列式、线性相关性、线性方程组、施密特正交化等几个重要的概念，定理和方法为内容，结合相应的几何直观来探讨如何进行启发式教学。

一、几个概念、定理和方法的几何直观解释

（一）行列式

行列式是线性代数中重要的基本概念，也是求解线性方程组的重要工具。一个重要的几何事实是：二阶行列式表示以它的两个列向量为边的平行四边形的有向面积。在教学中设置关于面积求解的一些问题，学生容易理解，也会更加感兴趣。例如在讲解行列式性质的时候，可以先让学生思考如下的问题。

1.延长或缩短平行四边形的一条边，保持另一边不变，其面积是否将扩大或缩小相应倍数？显然，结论是肯定的。相应的行列式性质是：倍乘行列式的一行相当于倍乘此行列式。

2.两个平行四边形同底等高，则它们的面积是否相等？显然，结论是相等的。相应的行列式性质是：把行列式一行的倍数加到另一行，行列式的值保持不变。

3.将平行四边形两条边的位置互换，则两条边的位置关系由逆时针（或顺时针）变为了顺时针（或逆时针），面积大小是否改变？显然，结论是不改变。相应的行列式性质是：对掉行列式中两行的位置，行列式变号，绝对值不变。

这样很容易让学生理解三种基本初等变换对应的行列式性质。在教学中可以进一步启发学生思考三阶行列式的直观几何解释：三阶行列式表示以它的三个列向量为边的平行六面体的有向体积。进一步理解行列式的性质。

（二）线性相关性

线性相关性是线性代数课程中最重要的内容之一，也是学生最难以透彻理解的内容之一。涉及的相关概念包括：线性相关，线性无關，线性表出，线性组合等。学生对这些概念往往会产生混淆，涉及到相关证明时经常无从下手。在教学中设置向量的共线、共面问题，学生更容易理解。比如在讲解线性相关时，可以先让学生思考如下问题。

1.在平面直角坐标系中，两个向量共线，则它们的坐标满足什么条件？结论是：其中有一个向量的坐标是另一个向量坐标的倍数。在三维直角坐标系中，三个向量共面，则它们的坐标满足什么条件？结论是：其中有一个向量的坐标是其余两个向量坐标的线性组合。这两个问题相应的概念就是线性相关，问题的反面就是线性无关的概念。

2.在三维直角坐标系中，取两个不共线向量，由此两个向量线性表出的向量（个数多于三个）满足什么样的几何特点？结论是：他们都在这两个向量所在的平面上。这解释了向量组的一个基本性质：假设前一个向量组由后一个向量组线性表出，且前一个向量组个数更多，则前一个向量组必线性相关。

这样就容易让学生理解线性相关、线性无关的基本概念，以及向量组表出的基本性质，并且对这些概念之间的区别也更加容易理解。当然，在实际教学中涉及到线性相关、线性无关的证明时，还需要通过一定量的练习教会学生在理解概念的基础上掌握基本的代数推导技巧。

（三）线性方程组

线性方程组是贯穿整个工科类线性代数课程的一条主线。其主要问题就是求解线性方程组，由于非齐次线方程组可以由相应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线线方程组的一个特解得到，所以问题就转化为如何求解齐次线性方程组的通解。线性方程组解的结构定理，学生往往理解不够透彻。初等的观点是用高斯消元法直接求解，而高等的观点是认识到解集合是一个线性空间，求解的过程实际上是刻画解空间的过程。在教学中设置向量的垂直问题，学生更容易理解。比如，可以让学生思考如下问题。

1.在三维直角坐标系中，与一个给定的非零向量垂直的所有向量有哪些？显然，这些向量就是与给定向量垂直的经过原点的平面，换句话说，就是以给定向量为法向量的过原点的平面空间。其相应的代数事实是：平面空间中所有向量对应的解就是以这个给定的非零向量为系数的三元齐次线性方程组（只含有一个方程）的所有解，这一方程组的基础解系就是平面空间的一组基。

2.在三维直角坐标系中，与两个给定的不共线（即线性无关的）向量都垂直的所有向量有哪些？显然，由于给定的两个向量不共线，所以它们确定一个平面，所要找的向量就是与它们确定的这个平面垂直的且经过原点的直线，换句话说，就是它们确定的这个平面的法向量空间。其相应的代数事实是：法向量空间中所有向量对应的解就是以这两个给定的不共线的向量为系数的三元齐次线性方程组（含有两个方程，对应给定的两个向量）的所有解，这一方程组的基础解系就是法向量空间的一组基。endprint

3.在三维直角坐标系中，与三个给定的不共面的（即线性无关的）向量都垂直的所有向量有哪些？显然，由于给定的三个向量不共面，所以它们确定一个三维空间，而整个空间就是三维的，所以它们确定的就是整个三维空间。所要找的向量就是与整个空间都垂直的且经过原点的向量，当然只有零向量。其相应的代数事实是：以这三个给定的不共面的向量为系数的三元齐次线性方程组（含有三个方程，对应给定的三个向量）只有零解。

这样就容易让学生理解求解齐次线性方程组就是刻画解空间。在同构的意义下，给出线性空间的一组基就说明刻画清楚了这个空间，而求出基础解系就是找出了解空间的一组基。进一步，齐次线性方程组中每个方程的系数对应的向量与解空间的向量是正交的，因而这些向量生成的子空间与解空间是互补的。由此可知：齐次线性方程组系数矩阵的秩（等于上述向量生成的子空间的维数）加上基础解系中线性无关的向量个数（等于解空间的维数）等于方程未知量的个数（整个空间的维数）。这就是齐次线性方程组解的结构定理的几何解释。

（四）施密特正交化

施密特正交化是把一个线性无关的向量组变成一个单位正交向量组的重要方法。在对称矩阵的对角化过程中，需要对所得到的特征向量进行施密特正交化。其计算步骤中正交化过程的公式，很多学生不理解，导致记不住公式。在教学中设置向量的垂直问题，学生更容易理解。比如，可以让学生思考如下一些问题。

1.平面上能否找到三个两两垂直的非零向量？空间中能否找到四个两两垂直的非零向量？显然，这两个问题答案都是否定的。相应的代数事实是：N维欧式空间中两两正交的非零向量不超过N个。

2.在平面上，取两个不共线的（起点相同的）向量，考虑其中一个向量在另一个向量（或延长线）上的垂直投射，这样的垂直投射是线性变换吗？答案是肯定的，而且这样的投射称为内射影。

这样就容易让学生理解正交的性质，以及施密特正交化过程，而单位化的过程很容易理解，即延长或缩短向量长度，使得长度变为1。从直观几何的角度来看三维线性空间的施密特正交化过程，可以粗略地描述为：将一个仿射坐标系（坐标轴未必两两垂直，各个坐标单位长度未必为1）掰成标准直角坐标系（坐标轴两两垂直，各个坐标单位长度为1）。

二、结束语

通过上述分析，我们可以看出在线性代数课程教学中设置一些容易理解的几何问题，诸如本文述及的平行四边形的面积求解问题（对应行列式的性质），直角坐标系中向量的共线、共面问题（对应线性相关，线性无关的概念），三维空间子空间的正交补空间问题（对应线性方程组解的结构定理），三维空间的向量垂直问题等（对应施密特正交化方法），有助于激发学生的积极性，启发学生自我思考，从而深刻理解线性代数课程中的相关概念，定理和方法，提升学生的抽象思维能力。

此外，诸如线性方程组的解与空间平面的交的问题，最小二乘法与点到平面最短距离问题，线性子空间的直和与直线与平面位置关系问题，以及二次型的化简与二次曲面標准化问题，在教学中都可以通过设置适当的几何直观问题来提升学生对相关概念，定理或方法的深刻理解。这样结合几何直观的启发式教学有利于启发学生的思维，调动学生学习的主动性和积极性，促使学生能更好地掌握线性代数的相关概念，定理和方法，提高教学效果。

[责任编辑：韩璐]endprint