函数题组训练
——函数的概念与性质
2017-12-14陕西刘麦玲
陕西 刘麦玲
山东 庄艳侠
湖南 欧阳巧林
江苏 王怀学
函数题组训练
——函数的概念与性质
陕西 刘麦玲
山东 庄艳侠
湖南 欧阳巧林
江苏 王怀学
1.函数的概念
1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应
【典例】高一(9)班1组有6位同学,在某次数学考试的成绩如下表所示:
学号123456成绩807579809880
根据上表回答问题:
(1)上述问题涉及到几个变量?
(2)每个变量的取值范围分别是多少?
(3)学号为4的同学的成绩是否唯一确定?成绩是80的同学是否唯一?
(4)设变量x是该组同学的学号,变量y是该班同学的成绩,则y是x的函数吗?
【解析】(1)上述问题涉及两个变量,即学号与成绩;
(2)学号的取值范围是{1,2,3,4,5,6};成绩的取值范围是{75,79,80,98};
(3)学号为4的同学的成绩是80,是确定的唯一的;成绩是80的对应3位同学;
(4)y是x的函数.
【评注】两个变量x,y都有自己的取值范围,对于x每取一个值,相当于在集合A中任取一个数;变量y都有且仅有唯一的值和它对应,相当于在集合B中有且仅有唯一的元素和它对应.
本题中,若设变量x是该组同学的学号,变量y是该班同学的姓名,显然y也不是x的函数.
【变式1】下列对应关系是从A到B的函数的有________.
(1)A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},x→2x,x∈R;
(2)A={x|x是矩形},B={x|x为圆},f:每个矩形的外接圆;
(3)A={1,2,3,4},B={x|xlt;10,x∈N},x→2x+1,x∈R;
(4)A=B=N*,x→x-1,x∈A.
【变式2】在下列对应关系中,f(x)满足函数关系的是
( )
A.f(sin2x)=sinx
B.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|
D.f(x2+2x)=|x+1|
1.2图象一样的函数就是同一函数
【典例】下列函数中一定是同一函数的是
( )
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
【解析】①中,两个函数的定义域不同;
对于④,两个函数的对应关系不相同,定义域也不同.
故选B.
【变式1】下列各组函数表示同一函数的是
( )
A.f(x)=sinx,g(x)=cosx
B.f(x)=2sinx,g(x)=2cosx
【变式2】下列各组函数表示同一函数的是
( )
A.f(x)=sinx,g(x)=tanx
C.f(x)=x,g(x)=x+1
D.f(x)=sin2x+cos2x,x∈R与g(x)=1,x∈R
2函数的定义域
2.1简单的不等式(组)的求法
【典例】解下列不等式组:
所以{x|-2≤x≤4};
所以x2=1,x=±1,不等式解集是{-1,1};
于是{x|x≤-2且x≠-4或x≥2且x≠4};
由数轴可知,不等式组的解集是{x|-1≤xlt;2}.
【变式1】求下列函数的定义域.
2.2使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域
所以函数f(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2].
2.3复合函数的定义域也是自变量x的取值范围
( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
【解析】因为f(x)的定义域为[0,2],
所以对g(x),0≤2x≤2,且x≠1,
【变式1】已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为
( )
【变式2】已知f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(x-2) 的定义域是________.
2.4求函数解析式遇到的函数定义域问题
【变式1】已知f(x2+1)=2x2+3,则f(x)=________.
2.5用区间或集合表示函数定义域
2.6对数函数定义域不能成为永远的痛
【典例1】求下列函数的定义域:
(2)y=log7(x2-2x-3);
(3)y=log(x+1)(16-4x);
(2)因为x2-2x-3gt;0,即(x-3)(x+1)gt;0,解得xlt;-1或xgt;3,即函数的定义域是(-∞,-1)∪(3,+∞);
【变式1】求下列函数的定义域:
(1)y=log(x-1)(3-x);
【典例2】已知函数f(x)=logax(agt;0,a≠1)在其定义域内为增函数,则满足f(|x-1|)lt;0的实数x的取值范围为________.
【解析】f(|x-1|)lt;0等价于loga|x-1|lt;loga1,
则0lt;|x-1|lt;1,
即-1lt;x-1lt;1且x≠1⟺0lt;xlt;2且x≠1,
所以实数x的取值范围(0,1)∪(1,2).
【变式1】“Mgt;N”是“log2Mgt;log2N”成立的________条件(用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空)
【变式2】已知定义在集合A上的函数f(x)=log2(x-1)+log2(2x+1),其值域为(-∞,1],则A=________.
3.函数的值域
3.1先内后外求复合函数的函数值
【解析】因为7lt;9,
所以f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)].
因为11gt;9,所以f(11)=11-3=8,
所以f(7)=f(8);
因为8lt;9,所以f(8)=f[f(8+4)]=f[f(12)],
所以f(7)=f(8)=f[f(12)];
因为12gt;9,所以f(12)=12-3=9,
所以f(7)=f(8)=f(9);
因为9=9,所以f(9)=9-3=6,
所以f(7)=f(8)=f(9)=6;
所以f(7)=6.
( )
A.-1 B.-2
C.1 D.2
( )
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.2赋值法求函数的值
【解析】令g(x)=-3,1-2x=-3,x=2,g(2)=-3.
【变式1】已知f(x+2)=2x+3,则f(8)=________.
【变式2】已知f(x+1)=3(x-2 017)2+1,则f(2 018)=________.
3.3分离常数法求函数值域
【典例】求下列函数的值域:
3.4基本不等式法求函数值域
即y≤-1或y≥3.
所以所求函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞).
( )
A.-3 B.3
C.4 D.-4
3.5三角换元法求函数值域
3.6函数单调性法求最值(值域)
【解析】此函数的定义域为[1,+∞),且是增函数,当x=1时,ymin=1,函数的值域为[1,+∞).
3.7有界性法求函数的值域
所以-1lt;y≤1,即函数值域为(-1,1].
3.8不等式性质或函数图象求值域
【典例1】求下列函数的值域:
所以f(x)≠1,所以函数值域是(-∞,1)∪(1,+∞);
所以函数值域是{y|1lt;ylt;2};
【变式1】函数f(x)=x2-2x+3的值域是________.
【变式2】函数f(x)=2-3-x(-1≤x≤2)的值域是________.
函数f(x)在[2,4]上单调递增,
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
(2)已知g(x)=log2f(x),求函数g(x)=log2f(x)的值域.
4.函数的解析式
4.1已知函数的名称用待定系数法求解析式
【典例】求一个实系数的一次函数f(x),使得f{f[f(x)]}=8x+7.
【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),
则f{f[f(x)]}=a[a(ax+b)+b]+b
=a3x+a2b+ab+b
=8x+7,
所以a3=8且a2b+ab+b=7,解得a=2,b=1.
故所求f(x)=2x+1.
【变式1】若一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x-3,则函数f(x)的解析式为________.
【变式2】已知函数f(x)=2x+3,g(x)=4x-5,求满足f[h(x)]=g(x)的h(x)为________.
4.2构造方程组用消去法求函数解析式
【变式2】已知函数f(x)满足f(1-x)=2f(x)-x2,求函数f(x)的解析式.
【典例2】已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,求f(x),g(x).
【解析】由已知得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,
即f(x)+g(x)=-x3+x2+1,与f(x)-g(x)=x3+x2+1联立解方程组,得f(x)=x2+1,g(x)=-x3.
【变式1】若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则g(0),f(2),f(3)的大小关系是________.
4.3用换元法(配凑法)求函数f(x)的解析式
【典例1】求分别满足下列条件的函数f(x)的解析式:
(1)f(x-1)=(x-1)2+1;
(2)f(x-1)=x2-2x+2;
(3)f(x-1)=3x-2;
(4)f(2x)=3x2+1.
【解析】(1)f(x)=x2+1;
(2)因为f(x-1)=(x-1)2+1,所以f(x)=x2+1;
(3)因为f(x-1)=3(x-1)+1,所以f(x)=3x+1;
【变式1】已知f(x+1)=x2-2x+2,则f(x+3)=________.
4.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法
( )
【解析】设函数g(x)的图象上任意一点(x,y),
因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),
【变式1】已知函数f(x)=x2+2x-3,当点(x,y)在y=g(x)的图象上运动时,点(2x,3y)在函数y=f(x)图象上运动,则y=g(x)的解析式是____________.
【变式2】已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则
( )
A.f(2x)=e2x(x∈R)
B.f(2x)=ln2·lnx(xgt;0)
C.f(2x)=2ex(x∈R)
D.f(2x)=lnx+ln2(xgt;0)
4.5判别式法求最值
【典例1】已知关于x的方程tx2+4x+t+3=0有实数解,求实数t的取值范围.
【解析】当t=0,4x+3=0有实数解;
当t≠0,关于x的方程tx2+4x+t+3=0有实数解等价于二次函数f(x)=tx2+4x+t+3在R上必与x轴有交点,则Δ=16-4t(t+3)≥0,得t2+3t-4≤0,所以-4≤t≤1且t≠0.
综上,实数t的取值范围{t|-4≤t≤1}.
【变式1】已知关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0有实数解,求实数k的取值范围.
【变式2】关于x的方程(y+1)x2-6x-y+9=0在(0,1)上有解,求正数y的取值范围.
【典例2】设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.
【解析】设2x+y=t,则y=t-2x,
代入4x2+y2+xy=1整理得6x2-3tx+t2-1=0,
【变式1】若x,y∈R,设M=x2-2xy+3y2-x+y,则M的最小值为________.
【变式2】设x,y为实数,若x2-3xy+y2=2,则x2+y2的最小值是________.
【解析】(y+1)x2-6x+9-y=0在(0,1)上有解,
也就是二次函数f(x)=(y+1)x2-6x+9-y(ygt;0)在(0,1)上与x轴有公共点.
故函数的最小值为8.
【变式2】若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的取值范围是________.
5.函数性质
5.1函数的单调性
( )
A.f(-5)gt;f(3)
B.f(-5)lt;f(3)
C.f(-3)gt;f(-5)
D.f(-3)lt;f(-5)
【解析】f(x)在(0,+∞)上为增函数,又为奇函数,故f(x)在(-∞,0)上也为增函数,因为-3gt;-5,所以f(-3)gt;f(-5),故选C.
( )
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex
D.f(x)=ln(x+1)
【典例2】已知函数y=f(x)的定义域是(0,2),且对于任意的正数m,都有f(x+m)lt;f(x),求满足f(2-a)lt;f(a2)的实数a的取值范围.
【解析】因为对于任意的正数m,都有f(x+m)lt;f(x),所以函数y=f(x)在(0,2)上单调递减.
因为函数y=f(x)在(0,2)上单调递减,
且f(2-a)lt;f(a2),所以2-agt;a2,
又函数定义域是(0,2),
因此实数a的取值范围是0lt;alt;1.
【变式1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调增函数,且f(x2+x)gt;f(2),求实数x的取值范围.
【变式2】已知函数y=f(x)在[0,2]上是单调增函数,且f(x+1)gt;f(2x),求实数x的取值范围.
【典例3】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是
( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)设函数y=f(x)为R上的单调增函数,函数图象经过(3,1),求不等式f(x)≤1的解集.
【解析】(1)因为函数为奇函数且f(1)=-1,
要满足-1≤f(x-1)≤1,
即f(-1)≤f(x-1)≤f(1),
又函数在R上单调递减,所以-1≤x-1≤1,
得1≤x≤3,所以x∈[1,3],故选D.
(2)函数图象经过(3,1),则f(3)=1,
所以f(x)≤f(3),
因为函数y=f(x)为R上的单调增函数,所以x≤3,
不等式f(x)≤1的解集是{x|x≤3}.
【典例4】已知函数f(x)=x3+x对任意的m∈[-2,2],有不等式f(mx-2)+f(x)lt;0恒成立,求实数x的取值范围.
【解析】因为f′(x)=3x2+1gt;0,
所以f(x)=x3+x在R上单调递增,
又f(x)=x3+x为奇函数,
因此不等式f(mx-2)+f(x)lt;0等价于mx-2lt;-x,
即(m+1)xlt;2对任意的m∈[-2,2]恒成立.
(法1)当m=-1时,x∈R;
(法2)设g(m)=xm+x,
【变式1】已知函数f(x)=2x+sinx对任意的m∈[-2,2],有不等式f(mx-3)+f(x)lt;0恒成立,则x的取值范围是________.
5.2函数的奇偶性
【典例1】已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=
( )
A.8 B.2 014
C.2 015 D.0
【解析】f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),
f(-x)=-asin3x-bx3+4,
所以f(2 014)+f(-2 014)=8.
又因为f′(x)=3acos3x+3bx2为偶函数,
所以f′(2 015)-f′(-2 015)=0,
f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=8.
故选A.
【变式1】函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为
( )
A.3 B.0
C.-1 D.-2
【解析】(法1)由于f(x)是偶函数,故f(|x|)=f(x),
【变式1】定义在R上的偶函数g(x),当x≥0时g(x)单调递减,若g(1-m)lt;g(m),则m的取值范围是________.
【解析】由f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
所以k2=1,k=±1.经检验符合.
5.3函数图象的对称性
定义域为{x|x≠0且x≠-1},
该函数为奇函数关于原点中心对称,
故原来的函数对称中心为(-1,0).
【典例2】函数f(x)=(x-3)3+x-1,数列{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,求a1+a2+…+a7.
【解析】令g(x)=f(x)-2=(x-3)3+(x-3),
所以g(x)图象关于(3,0)对称.
因为f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,
所以f(a1)-2+f(a2)-2+…+f(a7)-2=0.
即g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0.
因为g(x)图象上的点(a1,g(a1)),(a2,g(a2)),(a3,g(a3)),…,(a7,g(a7))与(a7,g(a7)),…,(a3,g(a3)),(a2,g(a2)),(a1,g(a1))关于(a4,g(a4))中心对称,
即a4=3,故a1+a2+…+a7=7a4=21.
【变式1】将函数g(x)=x3-3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,则函数g(x)图象对称中心的坐标为________.
【变式2】已知f(x)=(x-1)3+1,则f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=________.
【变式3】已知函数f(x)=(x+a)3对任意x有f(1+x)=-f(1-x),则f(-2 015)+f(2 017)的值为________.
5.4函数周期性
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=________.
所以f(x)是周期为4的函数,f(5)=f(1)=-5,
【变式1】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=
( )
A.13 B.2
【变式2】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=2 016,若f(3)=2,则f(2 017)=________.
( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
【典例3】已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)=-f(x-2),且f(1)=1,则f(64)=________.
【解析】f(x+1)=-f(x-2),用x+2替换x,
得f(x+3)=-f(x),f(x+6)=f[(x+3)+3]
=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),
所以函数f(x)的周期为6.
因为f(1)=1,f(4)=-f(1)=-1,
所以f(64)=f(6×10+4)=f(4)=-1.
【变式1】已知奇函数f(x)图象关于x=2对称,且f(1)=1,则f(65)=________.
参考答案
1.函数的概念
1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应
1.(3) 【解析】(1)集合A中的元素5,按照对应法则,在B中应该是对应10,但没有,不是从A到B的函数;
(2)集合A,B不是数集,不是函数;
(3)f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7,f(4)=9,是从A到B的函数;
(4)当x=1时,x-1=0∉B,不是从A到B的函数.
C.f(12+1)=f(2)=2,f((-1)2+1)=f(2)=0,则f(2)=|±1+1|=0,2;
即A,B,C选项均不满足同一自变量所对应的函数值是唯一的,故选D.
1.2图象一样的函数就是同一函数
2.D 【解析】A,B,C中函数的图象不同,D中函数的图象完全相同,故选D.
2函数的定义域
2.1简单的不等式(组)的求法
2.2使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域
1.[-3,1] 【解析】3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1,因此定义域为[-3,1].
2.3复合函数的定义域也是自变量x的取值范围
2.[0,5] 【解析】由f(x)的定义域为[-2,3]得-2≤x≤3,用x-2替换x得-2≤x-2≤3即0≤x≤5.所以f(x)的定义域为[0,5].
2.4求函数解析式遇到的函数定义域问题
1.f(x)=2x+1(x≥1) 【解析】(配凑法)f(x2+1)=2(x2+1)+1,所以f(x)=2x+1(x≥1).
2.6对数函数定义域不能成为永远的痛
【典例1】
3.【解析】A={x|x-2gt;0}=(2,+∞),B={x|x-1≥0}=[1,+∞).A∪B=(2,+∞)∪[1,+∞)=[1,+∞),A∩B=(2,+∞)∩[1,+∞)=(2,+∞).
【典例2】
1.必要不充分 【解析】由Mgt;N,不能得到log2Mgt;log2N,因为M,N不一定大于0.反过来,由log2Mgt;log2N可得Mgt;N.
3.1先内后外求复合函数函数的值
1.3 【解析】f(3)+f(6)=f(5)+1=f(7)+1=2+1=3.
2.B 【解析】由题f(x)=f(x-1)-f(x-2),xgt;0,得f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0),f(0)=log2(4-0)=2,则-f(0)=-2,故选B.
3.2赋值法求函数的值
1.15 【解析】由8=x+2,x=6,由f(x+2)=2x+3得f(6+2)=2×6+3=15.
2.1 【解析】令x=2 017,f(x+1)=f(2 017+1)=f(2 018),所以f(2 018)=f(2 017+1)=3(2 017-2 017)2+1=1.
3.4基本不等式法求函数值域
3.5三角换元法求函数值域
3.6函数单调性法求最值(值域)
3.7有界性法求函数的值域
3.8不等式性质或函数图象求值域
【典例1】
1.[2,+∞) 【解析】f(x)=(x-1)2+2≥2,所以函数f(x)=x2-2x+3的值域是[2,+∞).
【典例2】
(法2)因为xgt;0,所以x+1gt;1,
可以得到函数f(x)的值域(0,2),
所以g(x)=log2f(x)的值域是(-∞,1).
4.1已知函数的名称用待定系数法求解析式
2..h(x)=2x-4 【解析】因为f(x)和g(x)均为一次函数,所以h(x)为一次函数,设h(x)=ax+b,所以f[h(x)]=2h(x)+3=2(ax+b)+3=2ax+2b+3=4x-5,所以2a=4,2b+3=-5,解得a=2,b=-4,所以h(x)=ax+b=2x-4.
4.2构造方程组用消去法求函数解析式
【典例1】
【典例2】
4.3用换元法(配凑法)求函数f(x)的解析式
1.f(x+3)=x2+2x+2 【解析】设t=x+1,x=t-1,则f(t)=(t-1)2-2(t-1)+2=t2-4t+5,所以f(x)=x2-4x+5,f(x+3)=(x+3)2-4(x+3)+5=x2+2x+2.
4.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法
2.D 【解析】设函数y=f(x)的图象上任意一点(x,y),则因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以(y,x)满足方程y=ex,即x=ey,两边取对数得,lnx=y,即f(x)=lnx,故f(2x)=ln2x=lnx+ln2(xgt;0),故选D.
4.5判别式法求最值
【典例1】
【典例2】
【典例3】
5.函数性质
5.1函数的单调性
【典例1】
【典例2】
1.xgt;1或xlt;-2 【解析】由题意得x2+xgt;2,(x-1)(x+2)gt;0,得xgt;1或xlt;-2,实数x的取值范围xgt;1或xlt;-2.
【典例4】
5.2函数的奇偶性
【典例1】
1.B 【解析】f(a)=a3+sina+1,f(-a)=-a3-sina+1,f(a)+f(-a)=2,故f(-a)=0,故选B.
【典例2】
【典例3】
5.3函数图象的对称性
【典例1】
【典例2】
1.(1,-2) 【解析】平移后得g1(x)=(x+1)3-3(x+1)2+2,即g1(x)=x3-3x.由函数y=g1(x)为奇函数,它的对称中心为O(0,0),所以函数g(x)=x3-3x2的对称中心为(1,-2).
2.11 【解析】f(x)=(x-1)3+1是由y=x3平移得到的,因此f(x)的对称中心为(1,1),有f(x)+f(2-x)=2,所以f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=[f(-4)+f(6)]+[f(-3)+f(5)]+…+[f(0)+f(2)]+f(1)=5×2+1=11.
3.0 【解析】用1-x替换x得f(2-x)=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,可知函数f(x)关于点(1,0)对称,所以f(-2 015)+f(2 017)=0.
5.4函数周期性
【典例1】
【典例3】