一道全国高考真题的变式探究与推广

安徽 杨续亮 苏岳祥

一道全国高考真题的变式探究与推广

安徽 杨续亮 苏岳祥

一、试题再现

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点．

二、试题规律分析

三、试题解法赏析

下面对本题的第二问作些探究：

证法一：直线方程的斜截式视角

设直线P2A和直线P2B的斜率分别为k1,k2且k1+k2=-1，

①当直线l的斜率不存在时，设l:x=t由题设知|t|lt;2且t≠0，A(t,yA),B(t,-yA)，

得t=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当直线l的斜率存在时，设l∶y=kx+m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，

=-1，

又m≠1,所以m=-2k-1，

此时Δ=-64k，存在klt;0使得Δgt;0成立．

所以直线l的方程为y=kx-2k-1，

当x=2时，y=-1，所以l过定点(2，-1)．

证法二：平移坐标系视角

因为直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，

所以2m-2n=1，平移后得直线经过定点(2，-2)，平移前的直线方程为m-2n=1,

所以平移前的直线经过点(2，-1).

【评注】这种解法，很好地体现了减元思想和整体思想，在设定直线l的方程也可以设为点斜式，两点式直接求解.

四、试题的变式探究

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

在上式中以-k代k，可得

所以直线EF的斜率

【评注】直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数时，即k1+k2=0时，直线EF的斜率为定值.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当r变化时，①求k1·k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

又a2-b2=c2，

对于直线AD:y=k2x+1，

于是k1,k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1·k2=1.

考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上.

直线BD的方程为

令x=0，

【评注】直线AB,AD的斜率之积为k1k2=1为定值时，直线BD过定点.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率为k1,k2，证明k1+k2为定值.

由余弦定理得

|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos60°

=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|(1+cos60°),

由|F1F2|=4得c=2,从而b=2.

(Ⅱ)证明:当直线l的斜率存在时，设斜率为k，

得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0，

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

=4，

综上，k1+k2=4为定值.

【评注】过点P(-1,-2)作直线l交椭圆C异于N(0,2)的A，B两点，直线NA，NB的斜率为k1,k2，可以得到k1+k2为定值.

从2017年全国卷高考试题和3个变式我们得到如下结论：

在这个问题中，如P是椭圆上的一点，A,B是两动点，那么，PA,PB斜率之和为定值时或者之积为定值时，直线AB是否经过定点呢？通过探究，发现：

从变式试题可以看出，这里的4个结论逆命题同样成立，只是叙述的方式上稍作调整，请读者自己完成.

五、试题的类比探究

【变式4】已知抛物线C：y2=2px(pgt;0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(Ⅱ)证明:①当直线AB的斜率不存在时，

所以A(8，t)，B(8，-t)，此时直线AB的方程为x=8.

②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b(k≠0)，设点A(x1,y1)，B(x2,y2),

即y=k(x-8).

综上所述，直线AB过定点(8，0).

过抛物线y2=2px上点的任意一点P(x0,y0)作两条直线PA,PB与抛物线交于点A,B，其中，PA,PB,AB斜率都存在，分别记作k1,k2,k,则有如下结论：

读者可以参照2017年全国理20和变式题的证明方法证明这三个结论.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(于A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证直线l过定点，并求出该定点的坐标.

(Ⅰ)求轨迹C的方程.

安徽省安庆市岳西县汤池中学)