踏花归来马蹄香——2017浙江卷第21题“别解”赏析与思考

浙江 李承法

踏花归来马蹄香
——2017浙江卷第21题“别解”赏析与思考

浙江 李承法

2017浙江卷第21题是与抛物线有关的最(极)值问题，这道题若是不加以思考，直接计算，则计算量大，容易出错；若是先深入思考，利用几何视角或者代数视角转化，则会减少计算量．

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

1 几何视角下解法探析

则f′(x)=-4x3+3x2+1=-(x-1)(2x+1)2，

令f′(x)=0得x=1，

评注：此解法运用了平面几何中圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角、圆中相交弦定理等知识，优化思维，简化计算，最后同前面解法一样构造函数，结合导数求出问题的最值．

变式：将条件“过点B作直线AP的垂线，垂足为Q”改为“过点B作直线BQ与直线AP相交于点Q，且∠AQB=60°”，其他条件不变，求|PA|·|PQ|的最大值．

∵BQ⊥AP，

2 代数视角下的解析

评注：此法最为简单，线段长度之积，考试时联想到参数方程解答这道题会更简捷利索些．

∴|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3，令f(k)=-(k-1)(k+1)3，

评注：此解法是充分运用坐标、方程思想，但解法显得繁琐，计算量大，容易出现差错．

评注：此解法运用坐标思想，利用了直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，是常用方法之一.

浙江省开化中学)