2017年全国卷Ⅰ中一道圆锥曲线问题的思考

湖北 高丰平

2017年全国卷Ⅰ中一道圆锥曲线问题的思考

湖北 高丰平

一年一度的高考题都是命题人智慧的结晶，考查数学基本知识、基本技能、基本方法，对数学能力也有较高的要求．不少问题深入浅出，值得细细品味．下面以2017年一道全国卷Ⅰ中的圆锥曲线问题来说明．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点．

整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

又b≠1⟹b=-2k-1，此时Δ=-64k，存在k使得Δgt;0成立．

所以直线l的方程为y=kx-2k-1，当x=2时，y=-1，

所以l过定点(2，-1)．

【评注】本题考查直线过定点问题，解题中对代数式的运算要求较高，求解过程中使用了“整体代入”、“设而不求”等基本方法，要顺利完成解答，需要扎实的数学基本功！

下面对这类问题作一个推广，为方便求解，在解题方法上也适当作了调整，通过构造齐次方程，有效减少运算量，也方便了讨论，优化了解题过程．

设A(x1,y1),B(x2,y2),

①+②并整理得b2(x-m)2+a2(y-n)2+2mb2(x-m)+2na2(y-n)=0 ③，

此即椭圆方程的另一表达形式．

设直线AB的方程为p(x-m)+q(y-n)=1 ④,

显然此直线不过点P(m,n).由③,④构造齐次方程，得

b2(x-m)2+a2(y-m)2+[p(x-m)+q(y-m)][2mb2(x-m)+2na2(y-m)]=0 ⑤.

则(a2+2na2q)k2+(2pna2+2qmb2)k+b2+2mpa2=0 ⑥.

由根与系数的关系，结合k1+k2=λ,

而当λ=0且n=0时，直线AB的斜率不存在，此时直线AB与对称轴垂直．

上例中以a2=4,b2=1,m=0,n=1代入，立即得到结果．

在双曲线中也有类似的结论．

证明:由P(m,n)为抛物线y2=2px(pgt;0)上一点，

则n2=2pm①．

设A(x1,y1),B(x2,y2),

把y2=2px(pgt;0)变形得y2-2px=0 ②．

①+②整理得y2-n2-2p(x-m)=0 ③，

此即抛物线方程的另一表达形式．

设直线AB的方程：s(x-m)+t(y-n)=1 ④，

显然此直线不过点P(m,n).由③,④构造齐次方程，

得[(y-n)+n]2-n2-2p(x-m)[s(x-m)+t(y-n)]=0,

整理得(1+2nt)(y-n)2-2(pt-ns)(x-m)(y-n)-2ps(x-m)2=0 ⑤.

而当λ=0且n=0时，直线AB的斜率不存在，此时直线AB与对称轴垂直．

湖北省孝昌县第二高级中学)