解析几何中的“多曲线问题”

2017-12-14安徽罗春阳

教学考试(高考数学) 2017年6期

安徽罗春阳

解析几何中的“多曲线问题”

安徽罗春阳

解析几何在高考中占有非常重要的位置，而对于圆锥曲线的考查则是解析几何的核心问题、重点问题，也是难点问题.除小题外，圆锥曲线多处于次压轴位置，综合考查与圆锥曲线相关的几何问题，主要可分为“单曲线问题”与“多曲线问题”，“单曲线问题”即只有一个圆锥曲线，综合直线、三角形、四边形等进行考查；而“多曲线问题”则是指问题中综合了圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线，再结合直线、三角形，四边形等进行考查，几何关系复杂程度高于“单曲线问题”.

一、直径直线化

在圆与圆锥曲线问题中，常会有以椭圆上两点连线的直线形成圆，可将直径直线化，把问题化为直线与圆锥曲线相交，两点满足特定关系进行解题.

(Ⅰ)求椭圆E的离心率；

(Ⅱ)令椭圆E：x2+4y2=4b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(-2，1)为AB中点，

根据椭圆对称性可知，AB⊥x轴时，不合题意，故舍去，

则可令直线AB为y=k(x+2)+1代入椭圆E的方程可得，

(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0，

则x1x2=8-2b2，

解得b2=3，

【评析】本题问题主要集中在如何体现圆与椭圆交于直径，而直径的特征在于线段的长度与线段的中点.在解决过程中转化成直线与椭圆交于两点A，B，在令直线AB过程中要体现直线AB过圆心M(-2，1)这一条件.AB中点为M，且AB长度的直径，通过联立方程组利用韦达定理与弦长公式解决问题，当然作为中点弦问题，也可利用点差法.

(Ⅰ)求C1的方程；

(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点.若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.

二、直线的侧重对待与并列处理

问题中出现多条直线时，可通过直线与圆锥曲线相交，利用韦达定理为入手点，将个别直线作为重点直线处理，若多直线并列呈现多种形式，则处理方式相同.

【例3】(2017·合肥二模)如图抛物线E：y2=2px(pgt;0)与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A横坐标为2，过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2交于M.

(Ⅰ)求p的值；

(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.

【解析】(Ⅰ)p=1.

【评析】本题涉及直线、圆、抛物线的几何位置关系，其中三条直线如何来处理是本题的关键，直线l与圆相切，与抛物线相交于C，D两点，直接影响M的变化规律，故直线l是关键直线.直线l方程与抛物线方程联立利用韦达定理，得出C，D点坐标关系，而C，D点的坐标关系则直接使得动点M的变化遵循一定的规律，进而得出M轨迹方程.另外P点在指定劣弧上运动，对最终的变化范围给予了限制，为了更好地体现这一变化范围，用P点坐标解出直线CD确为合理选择.

【例4】(2012·湖南卷理·21)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x-5)2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

(Ⅰ)求曲线C1的方程；

(Ⅱ)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

【解析】(Ⅰ)y2=20x.

(Ⅱ)令P(-4，y0)(y0≠±3)，则两条切线斜率均存在，且不为零，

令过P点的圆C2：(x-5)2+y2=9的切线为

kx-y+y0+4k=0，

令两切线PA，PB斜率分别为k1，k2，

令A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

得k1y-20y+20(y0+4k1)=0，

=6 400.

即为所求定值.

【评析】本题主要涉及两个位置关系，直线与圆相切，直线与抛物线相交，因只有两条直线，且并列存在，故思维线索比较明确，即先令好一条直线，直线与圆相切，得出一结论待应用，该直线与抛物线相交，形成交点，得到纵坐标乘积表达式，另外一条直线的情况，可类比直接写出结论，简化运算.再利用结论作为桥梁，可得四个点纵坐标乘积定值.