排列组合问题的学习总结与应用

2017-12-12朱文睿

课程教育研究·新教师教学 2017年11期

【摘要】排列组合问题是高中数学学习的重要部分，看似简单的排列组合知识，在平时学习解决具体的问题时，有时会容易没有头绪或者遗漏细节，本文根据所学习排列组合的知识和查阅相关资料，从排列组合的分组问题、排列组合中分步和分类的问题、排列组合的解题技巧角度总结和学习排列组合的知识，并通过例题说明这些方法的应用，加深对排列组合知识的了解和提高解决排列组合问题的能力。

【关键词】分组分配；排列组合；分步；分类

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）11-0291-02

一、排列组合的分组问题

在学习排列组合的过程中，经常会遇到给人数分组分配和盒子装不同球的种类数问题，此处大致总结几种常见得分组分类问题及解题方法。

1.不相同的n个小球，装进r个不相同的盒子里，有的盒子装n1个小球，有的盒子装n2个小球…有的盒子装，其中n1、n2…nr互不相等并且和为n，则分配方案为：

2.不相同的n个小球，装进r个不相同的盒子里，每个盒子里面装m，其中mr=n，则分配方案为：

3.不相同的n个小球，装进r个相同的盒子里，每个盒子里面装m，其中mr=n、，则分配方案为：

4.不相同的n个小球，装进r个相同的盒子里，有的盒子装n1个小球，有的盒子装n2个小球…有的盒子装，其中n1、n2…nr互不相等并且和为n，则分配方案为：

5.相同的n个小球，装进r个不相同的盒子里，有的盒子装n1个小球，有的盒子装n2个小球…有的盒子装，其中n1、n2…nr互不相等并且和为n，则分配方案为：r！

6.相同的n个小球，装进r个不相同的盒子里，每个盒子里面装m，其中mr=n、，则分配方案为：1

7.相同的n个小球，装进r个相同的盒子里，每个盒子里面装m，其中mr=n、，则分配方案为：1

8.相同的n个小球，装进r个相同的盒子里，有的盒子装n1个小球，有的盒子装n2个小球…有的盒子装，其中n1、n2…nr互不相等并且和为n，则分配方案为：1

其中上述问题中，前四种的判断容易让人混淆，而6-8四种情况较为简单，然而当每天都在思考复杂问题的时候，遇到5-8也会出现脑筋急转弯似的情况，让人应接不暇，下面通过举例说明球盒分配分组问题简单应用。

Eg1：有13个不同的礼物，需要送给三个人，有一个人有五个礼物、另外两个人分别有四个礼物。礼物有几种分法。

答：礼物本身分组的方法有：种分组方法

人礼物件数分成有：

所以礼物的分配方法有种。

二、排列组合中分步和分类的问题

排列组合中，对问题进行“分类”计算还是“分步”计算也是一个易错的部分。其中“分类”是指对整体分析对象按不同的性质分成几类，每一类都是分析对象独立的子集，类与类之间没有绝对的依存关系，每一类都是事件的一部分，采用分类计数的方法即不同类采用累加的方法；而“分步”是指完成对被分析对象分析的时候，从前到后依次进行，必须把各个步骤都完成以后，才能完成所给的事件，并且步与步之间又互不影响，即前面采用的方法不影响后面的步骤采用什么方法此时采用分步的方法即为不同步之间采用累乘的方法。下面通过几个例题具体说明分类和分步的应用。

Eg2：有七个人排成一排，其中有两个人不在正中间也不在两边，有多少不同的重法？

分析：此题为典型的分步计数方法：因两个人比较特殊，所以首先安排两个人的位置，为A42，则剩下的五个位子分别为五个人任意做，有A51A41A31A21A11=A55，因此分类的发放义工为：A42A55。

Eg3：有25个人排成5×5的方队，现从中选择3个人，这三个人不在同一行并且也不在同一列，则不同的选法有多少种？

分析：此题也为分步计数方法：首先第一步先选择一个人有25种，第二部选择第二个人有25-9=16种，第三步选择一个人有16-5=9种方法，因为3个人没有先后顺序，所以最后去掉三个人的顺序的不同的选法有：25×16×9÷3！=600。

Eg4：在“欢乐今宵”的电视节目中，有两个信箱，信箱中放着竞猜中的观众来信，甲信箱中装有30封，乙信箱中装有20封，现在由主持人抽取奖品确定幸运观众，如果先确定一个幸运观众，然后再从两个信箱各确定一个幸运观众，请问抽取的幸运观众有几种不同的结果？

分析：此题为分类计数方法：分成两类，其中第1类，第一位幸运观众在甲箱中抽选，选定幸运之星，然后再在两箱中各抽取一位，此时幸运观众有30×29×20÷2=8700种情况；第2类是第一名幸运观众在乙箱中抽选，此时有20×19×30÷2=5700种情况。因此共有不同的抽取结果数为：8700+5700=1440。（注：除以二是因为三名幸运关总没有先后顺序）。

三、排列组合的解题技巧

此处主要总结学习排列组合解题时的集中常见技巧，例如特殊元素优先处理、特殊位置优先考虑、排除法、挡板法等，下面通过几个例子说明一下這几种常用的解题技巧。

Eg5：有六双不同颜色的手套，从中任意取4只手套，恰好有一双是同色的取法有多少种？

分析：此题为特殊元素特殊处理的类型，采用前面所讲的分步计数原则，先取一双同色的手套有C61种，剩下十只手套任选一只C101，剩下的从两双手套之外在选一只C81，由于后面两只手套不考虑先后顺序，所以去除它们之间的先后顺序可得一共的取法有：种。

Eg6：从10个人中选4人参加会议，其中在甲、乙、丙三个人中至少有1人参加会议，问参加会议人有多少种不同的选择？

分析：此题为排除法，即求甲、乙、丙三个人中至少有1人参加会议得对立面，即三个人都不参加会议的情况数，有C74，所以甲、乙、丙三个人中至少有1人参加会议得情况有种。

Eg7：把十个苹果发给八个人，每人至少有一个苹果，请问有几种不同的分苹果方案？

分析：此题为挡板法，此问题可以等价为，把十个苹果排成一排，在十个苹果的九个空隙处让七个人“插队”，第八个人在苹果最后面，在人前面和该人前面一个人后面的苹果归该人所有，所以分配方法为。

四、总结（下转250页）

（上接291页）本文总结学习了排列组合的相关知识，主要从排列组合的分组问题、排列组合中分步和分类的问题、排列组合的解题技巧角度总结和学习排列组合的知识，并通过例题说明这些方法的简单应用，通过排列组合相关知识的学习总结，提高了对本部分的内容的理解。

参考文献

[1]田秋成.组合数学[M].北京：电子工业出版社，2006.