三维弹性侧壁液舱内液体晃动波面的实验研究

唐 洁，李晨光，王国玉

(1. 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023; 2. 中交理工交通技术研究院有限公司，辽宁 大连 116023)

三维弹性侧壁液舱内液体晃动波面的实验研究

唐 洁1，李晨光2，王国玉1

(1. 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023; 2. 中交理工交通技术研究院有限公司，辽宁 大连 116023)

通过物理模型实验，对弹性侧壁液舱和刚性液舱内液体晃荡问题进行了研究。由于流固耦合的影响，弹性侧壁液舱内液体晃荡的最低阶固有频率稍小于同尺寸的刚性液舱内液体晃荡的最低阶固有频率。液舱模型处于纵向简谐激励作用下，其中激励频率在最低阶固有频率附近。实验分析两种相对液深比h/L=0.167和h/L=0.333，在二阶模态的次共振和一阶模态的共振状况下，对弹性侧壁液舱与刚性液舱内不同测点的波面、振幅谱和晃动波高进行对比分析。结果表明：在浅液深 (h/L=0.167)一阶共振下，流固耦合对波面形态的影响比较明显，弹性侧壁液舱内测点晃动波高明显大于刚性液舱内对应测点波高；而在一般液深(h/L=0.333)一阶共振下，水弹性效应减弱，弹性侧壁液舱与刚性液舱内对应测点处波高差异较小。

液体晃荡；刚性液舱；弹性侧壁液舱；波高；共振

当外界激励频率接近或等于部分装载容器内液体的固有频率时，容器内液体发生剧烈的晃荡现象[1]。在剧烈晃荡的过程中，液体将会对容器侧壁产生剧烈的局部冲击压力和倾覆力矩，甚至会造成容器的失稳和强度破坏。近些年来，随着世界大范围内对LNG船的使用，由晃荡引起的LNG船倾覆、泄露等安全稳定性问题日益受到人们的广泛关注[2]，因此对液体晃荡问题进行深入研究具有极其重要的科学意义和实用价值。

开展液体晃荡问题的研究最初是在核工业和航天航空领域内进行的。Abramson[3]首先将线性势流理论应用到球形和柱形容器内的液体晃荡问题。随后，Faltinsen等运用非线性势流理论[4]和多维模态分析方法[5-6]对水平激励下矩形液舱内液体晃荡进行了理论分析。

随着计算机的发展，许多学者在晃荡问题的数值模拟方面也做了大量工作。陈正云等[7]采用SPH方法模拟了液舱内的二维液体晃荡。Wu等[8]建立三维时域有限差分方法，分析了横荡和纵荡耦合作用下的三维液舱内液体晃荡波面形态与共振模态。方智勇等[9]结合通度系数法和Level-set法对带有障碍物的液体晃荡问题进行了研究。宁德志等[10]将高阶边界元法扩展到矩形容器内液体晃荡问题中。

以上研究一般均假定液舱为刚性液舱，没有考虑弹性液舱在载荷作用下的变形影响。随着水弹性力学的发展，部分学者对弹性液舱内液体晃荡现象进行了实验研究。蒋梅荣等[11]对二维弹性侧壁液舱内的晃荡波面、压力进行了研究，并与刚性液舱内实验结果进行了对比。Jung等[12]在30%和95%两种载液率条件下，对二维刚性、弹性液舱内晃荡冲击压力进行实验分析。结果表明，30%载液率条件下，刚性液舱与弹性液舱内液体晃荡压力相当；95%载液率条件下，刚性液舱内晃荡冲击压力较弹性液舱约大16%～19%。任冰等[13]对刚性液舱、弹性侧壁液舱内晃荡波面进行研究，分析了弹性侧壁变形对晃荡波面的影响。

上述结果表明，由于流固耦合的影响，弹性液舱内液体晃荡的波面形态及对舱壁的晃荡压力与刚性液舱相比，结果有所差异。这里利用物理模型实验，对不同液深比和不同激励频率作用下三维弹性侧壁液舱内的共振晃荡模态及晃动波面进行研究，并与刚性液舱内对应工况进行相应的对比分析。

1 实验设计

1.1液舱模型

实验中分别用有机玻璃制作了刚性和弹性两种内径尺寸相同的方形基座液舱，内径尺寸为48 cm×48 cm×85 cm(长×宽×高)。模型参数见表1，其中d1为顶板和底板有机玻璃厚度，d2为侧壁有机玻璃厚度，E为弹性模量，EIz为侧壁抗弯刚度，m为空箱质量。由于这两种厚度的有机玻璃板生产批次不同，使得实验中测定的E不同。通过计算可知厚度为12 mm的液舱侧壁抗弯刚度较4 mm厚侧壁的抗弯刚度大42倍，因此可将厚度为12 mm的有机玻璃制成的液舱视为刚性液舱，四周侧壁采用厚度为4 mm的有机玻璃制成的液舱视为弹性侧壁液舱。液舱模型和坐标系示意如图1所示。另外在液舱内布置9个浪高仪，固定在液舱顶盖上，其底端距离液舱底面3 cm。

表1 液舱模型参数Tab. 1 The parameters for the two tanks

图1 液舱模型和坐标系示意及测点布置俯视图Fig. 1 The model tank with the sketch of the coordinate system and top view of the tank with wave gauges

1.2实验设备及组次

实验设备包括低频电动振动台，振动位移反馈系统和CCD图像采集系统。振动台面尺寸为50 cm×50 cm，振幅范围为0～24 cm，频率范围为0～1 000 Hz。实验中将液舱模型固定在振动台上，随振动台一起运动。实验对液舱施加沿x轴的水平简谐荷载，振动台的运动位移为Xe=Asin2πft，其中A和f分别表示为激励振幅和激励频率。

对两种液舱在不同液深(h=8 cm和h=16 cm)下的一阶共振及二阶次共振模态进行了实验研究，振动台激励振幅统一为A=6 mm，激励频率f由不同工况决定。每一组实验组次的时间约为3～5 min，每组工况重复3次。

2 实验结果分析

三维矩形液舱内的液体共振晃荡频率，可以使用线性理论解公式计算：

其中，a和b分别表示矩形液舱的宽度和长度，m和n均为正整数，分别表示沿宽度方向及长度方向上的模态数，h表示液深。表2为两组液深比下液舱内液体的实测一阶共振频率与线性理论值对比。

表2 液舱内一阶自振频率的理论值与实测值Tab. 2 The first analytical and measured natural frequencies of the liquid in the tank

注：差值(%)=(实测值-理论值)/理论值×100%。

从表2可知，当h/L=0.167时，实测值较线性理论值稍大。而h/L=0.333时，实测一阶共振频率均比线性理论值稍小。但弹性侧壁液舱内实测一阶自振频率均稍小于刚性液舱一阶自振频率。为了研究液舱内液体一阶共振频率与液深的关系，首先根据式(1)计算液深h从8 cm变化至24 cm的理论一阶共振频率f；然后对弹性侧壁液舱和刚性液舱进行实验，液深从h=8 cm开始，每次增加1 cm液深，采用扫频的方法[14]，同时进行多次晃荡实验，测出晃荡一阶共振频率，直至液深h=24 cm，并将线性理论值与实测共振频率绘制成图2。

从图2可知，当h/Lgt;0.25时，由于线性理论解忽略了阻尼，使得理论一阶共振频率比实测一阶共振频率稍大；当h/Llt;0.25时，理论一阶共振频率比实测一阶共振频率稍小，可能的原因是，在浅水条件下，会产生波浪破碎等非线性现象，而线性势流理论却没有考虑。

图2 液深比与一阶共振频率关系图(A=6 mm,L=48 cm)Fig. 2 The liquid-depth-to-tank-breadth ratio versus first-order natural frequency (A=6 mm, L=48 cm)

2.1晃动自由液面

当振动台以某一频率做水平简谐运动时，置于其上的液舱内液体也随之晃荡，随着激励频率的改变，液舱内的液体晃动形态也会发生改变。本次分析的两组液深比分别是h/L=0.167和h/L=0.333，并将不同液舱内二阶次共振和一阶共振的晃动波面形态进行对比。

以刚性液舱为例：当h/L=0.167时，当激励频率fR=0.800 Hz约等于理论二阶共振频率(f0,2=f2,0=1.593 Hz)的二分之一时，液舱内呈现出二阶对称且三维特性显著的次共振模态，在晃动后期波面变形明显，并出现破碎现象，如图3(a)、图3(b)所示；当激励频率fR=0.940 Hz时，刚性液舱内呈现晃荡非常剧烈的共振模态，舱壁两侧交替出现波浪冲击、波面破碎等现象，如图3(c)、图3(d)所示。不同的是，弹性侧壁液舱内在晃动后期(tgt;40 s)激励出对角晃荡模态，如图3(e)所示。当h/L=0.333时，液舱内液体晃荡在次共振模态下，晃荡前期波面呈现左右对称，且在晃荡后期(tgt;60 s)，刚性液舱内呈现四个角点和中心测点处波面抬高，四边中心测点处波面下降的模态，如图3(f)、图3(g)所示，而弹性侧壁液舱内刚好呈现相反的晃荡波面形态；在共振晃荡模态下，液舱内呈现波浪破碎、旋转、翻卷、对角晃荡等波面复杂的共振状态，如图3(h)所示。

图3 不同液深比液舱内波面状态Fig. 3 The wave patterns of different liquid-depth-to-tank-breadth ratio in tanks

2.2次共振情况

2.2.1 晃动波面分析

图4和图5分别给出了次共振状态不同液深比下刚性液舱、弹性侧壁液舱内部分测点波面历时曲线对比。从图4可知，当h/L=0.167时，fR=0.800 Hz时(约为0.5f2,0，f2,0=1.593 Hz)，次共振晃荡波面波峰波谷不对称，波峰较尖，波谷较缓，整个液舱内三维现象比较显著。G1和G7的波面历时曲线中两个不同的波峰交替出现，波峰值明显大于波谷值，其中G1最大波面高度为11.2 cm和最低波面高度为-3.4 cm。由于此时的液面波动属于二阶晃动模态，其波面左右对称，舱壁中心测点G4的波动也较大，其中G4的最大波面高度为4.0 cm和最低波面高度为-2.4 cm；当h/L=0.333时，fR=0.883 Hz时(约为0.5f2,0，f2,0=1.776 Hz)，液舱内次共振G1和G7的波面峰谷不对称度小于h/L=0.167下情况，波面变化也明显小于h/L=0.167情况。在晃动后期，液舱内波面呈现四个角点(G1,G3,G7,G9)和中心测点(G5)处波面抬升，四边中点(G2,G4,G6,G8)处波面下降的晃动波面形态，其中G1波面高度最大值为5.2 cm，不足h/L=0.167下G1波面最大值的50%。G4的波面高度最大值为2.5 cm和最小值为-1.7 cm。

图4 不同液深比下刚性液舱次共振状态下测点波面历时曲线Fig. 4 Time histories of the free surface elevations in the rigid tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the secondary resonance

图5 不同液深比下弹性侧壁液舱次共振状态下测点波面历时曲线Fig. 5 Time histories of the free surface elevations in the elastic tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the secondary resonance

结合图5可知，当h/L=0.167时，fR=0.790 Hz时(约为0.5f2,0，f2,0=1.593 Hz)，弹性液舱内出现次共振状态。对应G1和G7波面历时曲线与刚性液舱内有所差异，基本呈现锯齿型分布。其中G1最大波面高度为9.3 cm，较小于刚性液舱内对应测点，而最低波面高度为-3.5 cm。G4的最大波面高度和最低波面高度分别是4.6 cm和-2.8 cm；在h/L=0.333下，fR=0.877 Hz时(约为0.5f2,0，f2,0=1.776 Hz)，G1和G7的波面呈现双峰变化，且波面波动很小，而G4波动较大。这是由于弹性侧壁液舱内液体在晃荡后期呈现与刚性液舱内晃荡波面变化相反的规律。其中G1的波面高度最大值为1.8 cm和最小值-1.9 cm，而G4的波面高度最大值为3.3 cm和最小值为-2.3 cm。

根据波面的Fourier展开理论，对图4、图5中波面历时选取后半部分稳定时段，进行快速傅里叶变换(FFT)，得到振幅谱。结果如图6、图7所示。

图6 刚性液舱内部分测点振幅谱Fig. 6 The amplitude spectrum of some measuring points in the rigid tank

由图6可知，对于刚性液舱，当h/L=0.167时，G1和G7的基频、二倍频和三倍频较大，二倍频最大，而其他高阶倍频项很小，而对于G4，振幅以二倍频为主，其他倍频项较小可不计。当h/L=0.333时，G1和G7的基频和二倍频较大，并以二倍频为主，其他倍频项几乎为零，且振幅值明显较h/L=0.167下对应测点振幅值小；对于G4，振幅以二倍频为主，其他倍频项很小，这与h/L=0.167下振幅分布规律一致。对于以下三个测点，振幅均以二倍频为主，激励频率f约为0.5fR,2,0，即“次共振”现象。

图7 弹性侧壁液舱内部分测点振幅谱Fig. 7 The amplitude spectrum of some measuring points in the elastic tank

结合图7可知，在弹性侧壁液舱内，当h/L=0.167时，各测点振幅分布规律与刚性液舱内对应测点振幅分布规律一致，且振幅值相近。当h/L=0.333时，液舱内晃荡模态与刚性液舱内相反。G1和G7的振幅出现基频、二倍频项，并以基频为主，这与刚性液舱内对应测点振幅分布不同。且主峰幅值明显小于刚性液舱内对应测点主峰值。对于G4，幅值以二倍频为主，其他倍频项可不计，并且幅值也较刚性液舱内对应测点幅值大。

2.2.2 晃动波高分布

图8给出了次共振状态下，液舱内各点平均波高分布。当h/L=0.167时，在两侧测点处，即G1～G3和G7～G9，两液舱内同一测点平均波高基本一致。而中间测点G4～G6处，两者波高相差接近30%。其中弹性侧壁液舱内G4和G6平均波高较大，而刚性液舱内G5处平均波高较大。当h/L=0.333时，各测点平均波高明显较h/L=0.167工况下小。由于晃荡后期，刚性液舱内四个角点(G1、G3、G7、G9)和中心测点(G5)波面抬高，而四边中点(G2、G4、G6、G8)波面降低，而弹性侧壁液舱内呈现相反的晃荡模态，使得两液舱内平均波高分布相差较大，并且两者的波高分布具有一定的三维特性。

图8 液舱内各点平均波高分布Fig. 8 The distribution of average wave heights in the tank

2.3一阶共振情况

2.3.1 晃动波面分析

当激励频率等于实测一阶共振频率，液舱内液体呈现液体喷溅、冲击爬升、波浪破碎等剧烈现象的共振晃荡模态。图9和图10分别给出了一阶共振状态下刚性液舱、弹性侧壁液舱内不同液深比下部分测点波面高度历时曲线对比。由图9可知，在h/L=0.167下，G1和G7的波面变化规律相似，波峰明显大于波谷。G4的波面波动很小。其中G1最大波面高度为15.8 cm；在h/L=0.333下，随着液深的变大，液舱内液体晃荡更加剧烈，测点历时曲线变化呈现明显的群性。相对于h/L=0.167下测点波面变化，该液深下对应测点的波面值显著增大。其中G1最大波面高度为33.3 cm和最低波面高度为-10.1 cm；G4最大波面高度为21.7 cm和最低波面高度为-9.3 cm；G7的对应的波面高度最值分别为32.1 cm和-10.9 cm。

图9 不同液深比下刚性液舱共振状态下测点波面历时曲线Fig. 9 Time histories of the free surface elevations in the rigid tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the resonance

图10 不同液深比下弹性侧壁液舱共振状态下测点波面历时曲线Fig. 10 Time histories of the free surface elevations in the elastic tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the resonance

从图10可知，在h/L=0.167下，由于弹性侧壁液舱内液体在晃荡后期激励出对角晃荡模态，实验中G1和G9为主对角点，其波面高度明显比G7大。由于液舱内水深只有h=8 cm，当G1的波峰很大时，由于浪高仪离液舱底部只有3 cm，当处于波谷值浪高仪脱离液面，因此历时曲线中波谷处为直线，没有测量波面值。其中G1最大波面高度为23.0 cm，较刚性液舱内G1最大波面高度约大45.6%；当h/L=0.333时，弹性侧壁液舱内晃荡现象与刚性液舱内基本一致，波面变化显著比h/L=0.167下对应测点波面大。其中G1最大波面高度为32.5 cm，最低波面高度为-10.3 cm；G4最大波面高度为24.0 cm，最低波面高度为-9.1 cm；G7对应的波面最值分别为25.1 cm和-9.0 cm。

当液舱内液体处于共振晃荡模态时，波面出现水跃、破碎、翻卷等剧烈现象，波面成分呈现多倍频项，但以基频和二倍频为主，其他倍频项可忽略不计。由图11可知，对于刚性液舱，当h/L=0.167时，G1和G7以基频为主，二倍频幅值小于基频幅值，其他倍频项很小。而G4则以二倍频为主，其他倍频项几乎为零。当h/L=0.333时，液舱内液体晃荡更加剧烈，振幅值显著增大。G1的基频幅值约为h/L=0.167下对应测点幅值的3倍；对于G4，基频幅值约为h/L=0.167下对应测点主峰幅值的5倍。各测点振幅分布均以基频为主，二倍频较小，其他倍频项幅值很小。

图11 刚性液舱内部分测点振幅谱Fig. 11 The amplitude spectrum of some measuring points in the rigid tank

结合图12，在弹性侧壁液舱内，当h/L=0.167时，在一阶共振晃荡后期出现对角晃荡模态(G1为主对角点)，因此G1的基频幅值较刚性液舱内对应测点幅值大，同时G7为副对角点，其主峰幅值较刚性测点对应测点幅值小，且G1和G7幅值均以基频为主，这与刚性液舱内对应测点一致。对于G4，幅值以基频为主，二倍频也较大，这与刚性液舱内对应测点振幅分布不同。当h/L=0.333时，液舱内测点振幅均以基频为主，二倍频较小，其他倍频项可不计，与刚性液舱内对应测点分布规律一致，幅值大小相近。

图12 弹性侧壁液舱内部分测点振幅谱Fig. 12 The amplitude spectrum of some measuring points in the elastic tank

2.3.2 晃动波高分布

图13给出了一阶共振状态下两液舱内平均波高对比。当h/L=0.167时，液体沿激励方向冲击液舱侧壁，并发生剧烈破碎。两侧壁处测点波高(G1～G3和G7～G9)明显较中间测点(G4～G6)大。在晃荡后期，弹性侧壁液舱内出现以G1和G9为主对角点的对角晃荡，且平均波高较G3和G7波高大；而刚性液舱内没有出现对角晃荡。其中，弹性侧壁液舱内G9处平均波高较刚性液舱内对应测点波高约大40%。当h/L=0.333时，随着液舱内水深增大，共振时晃荡更加剧烈，以旋转、对角以及垂直激励方向的晃荡交替出现的模态为主，主对角点G1和G9的平均波高明显较h/L=0.167下对应测点大。同时波高三维特性分布更加明显，垂直激励方向波高分布更加不均匀，即为G1的平均波高明显较G2和G3的波高大，G9的平均波高明显较G7和G8的波高大，中心测点G5的平均波高显著较G4和G6的平均波高小，但两液舱内对应测点的波高却相差不大。

图13 液舱内平均波高分布Fig. 13 The distribution of the average wave heights in the tank

3 结 语

通过物理模型实验，对比分析了不同液深比(h/L)下，弹性侧壁液舱和刚性液舱内次共振、一阶共振模态下波面形态和波面振幅及晃动波高。结果表明：

1) 当h/Llt;0.25时，受液面波动非线性特征影响，实测一阶共振频率较线性理论值稍大，且h/L越小，二者差值越大。当h/Lgt;0.25时，受液体阻尼的影响，实测值较线性理论值稍小。由于晃动波面作用下液舱侧壁变形的影响，弹性侧壁液舱实测一阶共振频率均稍小于刚性液舱情况。

2) 在次共振情况下，当h/L=0.167时，弹性侧壁液舱和刚性液舱内液体晃荡模态、振幅分布和晃动波高分布规律基本一致；当h/L=0.333时，弹性侧壁液舱和刚性液舱内液体呈现相反的晃荡波面形态，振幅和晃动波高分布规律差异较大。其中h/L=0.167下的晃荡较为剧烈，对应测点波面波高明显大于h/L=0.333下工况。

3) 一阶共振情况下，当h/L=0.167时，弹性侧壁液舱内晃荡后期激励出对角晃荡模态，而刚性液舱没有激励出，两液舱内一阶共振晃荡模态相差较大，振幅和晃动波高分布不同；而在h/L=0.333下，晃动波高显著较h/L=0.167下对应测点大，弹性侧壁液舱与刚性液舱晃荡模态基本一致，波高分布三维性显著，中心测点G5波高较小，但两液舱内对应测点晃动波高相差不大。

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Experimental study on sloshing waves in 3D tanks with elasticity

TANG Jie1, LI Chenguang2, WANG Guoyu1

(1. The State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China; 2. CCCC amp; DLUT Institute of Transportation Technology Co., Ltd., Dalian 116023, China)

This paper presents the experimental investigation of the three-dimensional resonant sloshing in a square-base elastic and rigid tank. Due to the influence of the fluid-structure interaction, the lowest natural frequency of the liquid in the elastic tank slightly deviates from that in the rigid tank of the same size. The model tanks are excited in 1-D harmonic longitudinal motion and the excitation frequency is in the vicinity of the lowest natural frequency of the liquid. Two relative fill levels (h/L) with liquid-depth (h)-to-tank-breadth (L) ratios of 0.167 and 0.333 are considered. For the cases of the secondary resonance of the second mode and the resonance of the first mode, the wave elevation and amplitude spectrum at different measuring points in the rigid and elastic tanks are compared and analyzed. The analysis results indicate that for the shallow water depth (h/L=0.167), the effects of the fluid-structure interaction play an important role in the wave regimes and the wave height in the elastic tank is obviously larger than that in the rigid tank in the case of the first mode resonance. While for the moderate water depth (h/L=0.333), the hydro-elastic effect has little effect on the wave regimes and there is little difference between the wave height in the elastic tank and that in the rigid tank.

liquid sloshing; rigid tank; elastic tank; wave height; resonance

1005-9865(2017)06-0045-10

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.06.006

2017-03-27

国家自然科学基金资助项目(51179030；51221961)

唐 洁(1992-)，男，湖南人，硕士研究生，主要从事波浪与结构物的相互作用研究。E-mail：tangjie@mail.dlut.edu.cn