高中数学课堂渗透中国数学史的实践研究

吴俊杰++邹燕丽

摘 要：数学史特别是中国数学史在高中数学教科书中出现内容较多，怎样将相关中国数学史融入到高中数学课堂，使教学既能激发学生的兴趣，培养学生的爱国主义热情，又能体现中国数学史的文化价值，还能有效培养学生的数学意识和数学思维。本文以“祖暅原理”为例，通过阐述“祖暅原理”的由来列举经典例题进行说明。

关键词：高中数学；中国数学史；祖暅原理

教育部颁发的《高中数学课程标准》（实验）中，对高中数学课程提出了十条要求，其一便是要充分体现出数学的文化价值。数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应该适当反映数学的历史、应用和发展趋势等等，高中数学课程应当帮助学生了解数学在人类文明发展中的重要作用，逐步形成正确的数学观。

数学史融入高中数学教学是高中数学课程标准的一个重要性突破，数学史特别是中国数学史在高中数学教科书中出现内容较多（以普通高中课程标准实验教科书人教A版为例），包含大量中国数学历史名人和影响深远的公式、结论等。本文仅以“祖暅原理”为例简单谈谈，仅供参考。

一、 “祖暅原理”的由来

“祖暅原理”出现在普通高中课程标准实验教科书人教A版必修二第一章《空间几何体》的《探究与发现》中。《探究与发现》首先简单介绍了祖暅为著名数学家、天文学家祖冲之之子及原理内容，高中数学教师可以进一步去挖掘原理的由来。“祖暅原理”，历史上也称“祖氏原理”，“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积。其意为：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那这两个几何体的体积就相等。其发现起源于刘徽发现的《九章算术》中球的体积公式是错的，刘徽通过构造“牟合方盖” 证明了他的结论，然而“牟合方盖”的体积怎么求，刘徽最终未能解决。两个世纪后，祖暅沿用刘徽的思想，将目标转为求一个立方体与其内切牟合方盖的差的部分，再把“差”自然分成相等八份，每份成为“小方盖差”，把问题转成立方体的八分之一和其“小方盖差”的关系，最后正确求得球体积公式。通过挖掘这些素材，让学生理解刘徽的构造性思维和创新思想及祖暅的奇思妙想，对“创新”有进一步的体会；有助于培养学生敢于怀疑与批评、尊重事实，实事求是的数学理性精神，激发学生的爱国热情，同时鼓励学生在以后的求学道路上要敢于发现问题，认真思考，永不放弃，最终解决问题。然而可惜的是“祖暅原理”却没有尽早被西方所知，很重要的一个原因便是当时的数学语言很不规范，没有严格的证明，也没有达到严格的演绎，从而导致此原理没有得到广泛的传播。作为数学教师，要在平时的教学中帮助学生形成严谨的数学语言，让他们注重数学语言的规范化，也让学生感悟数学语言的无限魅力。

二、 “祖暅原理”的应用与推广

推论1：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积比总为m：n， 那么这两个几何体的体积之比亦为m：n；推论2 ：夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得的两条线段的长度之比总为m：n，那么这两个平面图形的面积之比亦为m：n.利用祖暅原理及其推论可以求一些旋转体的体积及平面图形的面积。

【例1】 数学家祖暅（公元前5～6世纪）提出：“幂势既同，则积不容异。”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，则这两个几何体的体积相等.设：由曲线x2=4y和直线x=4，y=0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为F1；由同时满足：

x≥0，x2+y2≥0，x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2（y+2）2≥4的点（x，y）构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为F2。根据祖暅原理等知识，通过考查F2可以得到F1的体积为（ ）

A. 16π B. 32π

C. 64πD. 128π

【解析】 两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8个单位的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积

S1=π（42-4|y|），S2=π（42-y2）-π[4-（2-|y|）2]=π（42-4|y|）

∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，

∵F2=12×4π3×（43-23-23）=2π3×48=32π，∴F1=32π。故选：B

题目来源于泉州市2013届高三3月质量检查文科数学，主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想。

【例2】 求曲線y=2x2与x轴、直线x=2所围图形的面积；

【解析】 将曲边三角形ABC沿垂直于其所在平面的方向平移一个单位，得到几何体ABC-A1B1C1，为求该几何体构造正四棱锥S-MNPO，使得两几何体等高，底面在同一平面，且底面积相同，即AC=OS=2，SMNPQ=8。用平行于底面ABB1A1的截面去截它们，分别得到矩形DEE1D1和矩形M1N1P1P1. 设它们距CC1，S所在平面的距离为x0，显然SDEE1D1=2x02，而

SM1N1P1Q1=x024SMNPQ=2x02，由祖暅原理知VABC-A1B1C1=SMNPQ=163，

SABC=VABC-A1B1C1AA1=163。

此题若用定积分知识也可容易求出所围图形的面积。笔者提供的这种解法把“非标准”平面图形通过空间平移转化为“非标准”几何体，通过祖暅原理求出该几何体的体积，然后由体积公式求出该平面图形面积。这种构造思想不仅可以用来求曲边三角形的面积，也可以应用于一些其他平面图形的面积。

【例3】 求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的面积；

解：圆O的方程为x′2+y′2=a2（a>0），作沿平行于y轴方向的均匀压缩变换x′=x

y′=aby，代入圆O的方程就得椭圆方程。由于椭圆与圆都夹在两条平行线l1与l2之间，且PP″l1″l2，利用“祖暅原理”推论2得S椭圆S圆=2MN2PN=yy′=ba，所以S椭圆=S圆·ba=πa2·ba=πab。

圆是同学们熟悉的平面图形，其面积公式大家耳熟能详，但对于椭圆的面积公式，书本并未给出。利用“祖暅原理”推论将椭圆的面积与圆的面积公式联系起来，很容易可以求出椭圆的面积，在整个过程中，有效激发了学生探究的精神。

在高中数学课堂渗透中国数学史，让广大中学教师有力把握中国数学史在高中数学中的重要地位及其作用，有利于数学老师更加全面、更加深刻地理解数学，提高他们的专业水平及素养，进而提升教学能力；同时有助于活跃数学课堂气氛，使数学教学更加高效，对日常的数学教学起到十分积极的作用。从而，也可以调动学生学习数学的积极性，激发学习兴趣，加深学生对数学本质的理解；有利于学生系统地掌握数学知识，扩大知识面和视野；有助于培养学生的创新能力，培养学生爱国主义热情，有效地体现数学的文化价值。

参考文献：

[1]叶秀云，叶雪梅.“祖暅原理”及其教学探究[J]. 福建中学数学，2012.

[2]王威. 巧用祖暅原理及其推论推导旋转体的体积[J].语数外学习，2013.

[3]朱田晟骜.渗透数学史料，弘扬传统文化[J].考试周刊，2016.

[4]胡娟娟. 用祖暅原理求平面图形的面积.[J]数学教学通讯.

[5]夏军剑. 祖暅原理的推广及应用[J].中学数学杂志，2006.

[6] 宋丹，庄建宏. 运用祖眍原理求任意椭球之体积—中国数学史中一个成就的应用[J]. 辽宁省交通高等专科学校学报，2002.

[7] 张伟.祖暅原理的由来及证明[J].重庆教育学院学报，2010.