初中数学教学中常见数学模型举例

施清水��

摘要：数学建模是初中数学教学中最常用的方法和思想，数学模型在初中数学教学中的应用，能够将抽象的概念、理论和内容具象化，提高学生理解和掌握效率，并提高学生数学应用能力。笔者首先对初中数学中数学模型的应用要点进行分析，并对初中数学教学中常用的数学模型进行举例和分析，为初中数学教学中数学模型的应用提供资料参考。

關键词：初中数学；教学；数学模型；举例

数学模型是初中数学教学中最常用的思想和方法，其在初中数学科目教学中的应用，能够极大的提高教学效率和质量。想要提高数学教学中数学模型的应用水平，就一定要掌握数学教学中数学模型的应用要点，将数学模型和生活实践建立联系，并让学生掌握生活实践-数学模型-生活实践之间的循环转化关系，通过数学模型的灵活运用，提高学生数学问题理解水平，并提升学生的数学应用能力。

一、 初中数学教学中数学模型的应用要点

（一） 审题

数学模型是对真实生活中数学问题的概括与简化，其与现实生活是有着紧密联系的。在初中数学科目教学中，面对数学问题和数学题，想要得到正确的数学模型，一定要把握好审题关。只有提高审题的准确度，才能在较长的数学问题叙述中找到构建数学模型的要点，才能明确建模的目的和方法，并找到题目中的已知项和未知项，并采取相应的数学模型来解决问题。因此，在初中数学教学中数学模型应用中，提高学生的审题能力，是提高学生数学模型应用准确度和数学问题解决能力的关键点。

（二） 简化

在数学问题中应用数学模型，其主要的目的就是实现对问题的简化，并通过对已知条件和未知条件的调用，找到数学问题中各个关键内容之间的联系，构建数学模型并予以解决。因而，在数学教学中，教师要教会学生如何简化问题，并能够从问题中找到主要因素、次要因素，找到已知条件和未知条件，从而根据数量关系和所学知识，构建数学模型，通过数学模型的调用完成解题过程，并得到正确的结果。

（三） 抽象

数学相比于其他科目，最大的特点就是有着自己的数学符号和语言。数学符号和语言的形成，正是在数学建模的过程中总结而来的。教师在数学科目教学中，一定要让学生掌握数学符号和语言，只有这样，在遇到数学问题时，才能通过具象的问题抽象化，将实际的问题用数学符号来准确表达，并根据相应的定理、概念和方法，解决问题。

二、 初中数学教学中常见的数学模型举例

（一） 函数模型

实例一：某文教店新采购一批圆珠笔，采购成本为每支1.8元，计划每支圆珠笔4.0元出售，每个月可以销售该品种圆珠笔200支。为了增加销量，店里决定采取降价促销的方式，通过调研，圆珠笔价格每降价1.0元，月销量能够提高50支。问题1，试求月销量y和销售单价x之间的函数关系式。问题2，试求出销售利润z和销售单价之间的函数关系式。

解1：根据上述条件，可得等式y=200+50（4.0-x）=-50x+400，y与x之间的函数关系式为y=-50+400.

解2：根据上述条件，可得关系式：z=（x-1.8）（-50x+400），整理得z=-50x2+490x-720

剖析：本题目中包含一次函数和二次函数两个问题，通过对题目的分析，将具体的问题抽象成为由函数构成的抽象问题，这种建模的方法和思想，便于实际数学问题的解决。除上述模型外，包括供排水、成本计算、方案优化选择等问题，都能够运用函数模型来表达，并帮助人们提高问题的解决效率。教师在应用函数模型中，关键是要让学生发现数学和实际问题之间的联系，提高学生的数学应用能力。

（二） 方程（组）模型

方程和方程组模型对实际生活的影响更大，让学生掌握方程和方程组模型，学生能够灵活的解决生活中的问题，完成包括价格计算、收益计算、成本分配计算等任务。

实例二：张明过年得到了100块钱压岁钱，这100元钱张明准备买玩具。通过询问价格，一个小汽车玩具价格25元，一个士兵玩具的价格为5元，张明买士兵的数量是小汽车数量的5倍，问张明小汽车和士兵玩具分别买了几个。

剖析：该问题比较简单，通过建模能够抽象成一个一元一次方程组。通过在具体的教学中使用一元一次方程组，能够用数学符号来表达具体的购买数量和价格关系，这有助于帮助学生更直观的分析张明的购买行为，并提高学生对方程和方程组模型的理解程度，提高其生活问题的解决效率。

（三） 不等式（组）模型

不等式和不等式组模型同样是初中数学教学中应用的重要模型，不等式模型包括纯不等式、不等式组、最优方案问题、等式和不等式综合题、不等式和函数综合题等几种。不同的不等式问题，需要综合不同的不等式、等式或函数模型来解答。由于不等式问题抽象性更强，因而学生在解决中遇到的困难也最多。

实例三：把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？

剖析：实例三所给出的题目就是一个标准的不等式组问题，不等式组问题与方程组问题的概括总结方法比较类似，但由于题目中含有不超过、不少于等不确定性的关键词，因而学生在解题中很容易出现错误。不等式模型在盈亏分析、方案制定、投资决策等问题中比较常用，在应用不等式模型时，教师要引导学生正确的找到代表不等式问题的关键词。

（四） 概率模型

概率模型相比于上述其他数学模型，由于题干内容量大，内容较为分散，学生解题通常比较难。虽然初中概率相关的教学内容占比不大，但概率仍然是中考中考点之一，如果在教学中应用好概率模型，能够有效提高学生概率章节内容的学习理解效率，从而提高教学质量。

实例四：小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选.于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选.游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其他均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4。一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选。

（1） 用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；

（2） 你认为这个游戏公平吗？请说明理由。

剖析：概率问题的出现，一般有着综合性强的特征。如果学生不能熟练的掌握概率相关的数学模型，在遇到复杂问题时，就会感觉到无从下手。概率模型的教学要点，在于经典概率模式的掌握，还有就是要培养学生从复杂题干中找到解题关键信息的能力，从而提高学生概率模型的应用水平，提高其概率相关问题的解题能力。

（五） 几何模型

几何方面的内容，占据初中数学的大量课时和篇幅，作为初中数学科目教学的重点，几何教学中对数学模型的应用频率更是比较高。对于初中几何模型在教学中的应用，可以分成几种不同的模型类型，在教学中要让学生灵活掌握，从而提高几何题解题能力。初中阶段常用的几何模型包括平行和垂直、三角形（梯形）、等腰三角形、直角三角形等。

实例五：已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.

求证：∠DEN=∠F.

剖析：对初中数学几何模型的应用，关键是让学生学会对所学过数学知识的调用。只有在解决几何问题时，能够灵活地运用所学过的定理、规律，才能提高对几何问题的解题效率。因此初中数学中几何模型的应用，关键是提高学生的发散思维能力，让学生掌握思维拓展和知识迁移的方法。

综上所述，函数模型、方程组模型、不等式模型、几何模型、概率模式作为贯穿初中教学全过程的常用数学模型，其应用要点和教学要点有着明显的区别。在具体的教学实践中，对于不同的数学模型，教师一定要采取不同的教学与授课方式，才能让学生更准确的掌握这些经典数学模型。

参考文献：

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