浅谈初中数学数轴上行程问题的解决

方瑞祥��

摘要：数轴上的行程问题是初中数学中比较重要的一个知识点，对于学生而言具有一定的难度。而对于数轴上的行程问题要如何解决，也是值得深入研究考量的。对此，本文首先分析了数轴上行程问题的基本内涵，然后阐述了解决这些问题的具体方法对策，希望可以对学生有效掌握相关知识提供可靠的参考指导。

关键词：初中数学；数轴行程问题；基本内涵；解决方法

数轴并非一根实际存在的轴，其是假想出来的，表示所有数在这一根轴上的变化。在数学教学不断进步发展的情况下，出现了数轴行程这一类问题，其可以看作是追及、相遇问题在数轴上的表现。由于数轴本身是不存在的，因此在教学中学生很容易产生理解上的差错，从而不能正确对问题进行求解。

一、 数轴上行程问题的内涵分析

数轴上行程问题是将传统行程问题和数轴相结合的一个全新的教学内容，其有效实现了两部分知识点的融合，可以通过这一个点的教学，让学生对数轴和行程都形成理解认识。在数轴行程问题中，其既会涉及数轴自身的基本概念，又会涉及行程问题中的追及和相遇，可谓复杂程度显著提升，对于学生的思维能力要求更高。根据实际的问题来看，数轴上的行程问题和传统的行程问题相似，也可以分为追及、相遇、远离、速度等不同的类别，下面就一一进行阐述。

（一） 追及类数轴行程问题。这类问题同传统的行程追及问题相似，主要区别在于追及的对象发生了变化。传统追及问题的追及对象是人、车辆等，而数轴行程追及问题的对象变成了数字。例如：已知数轴上有两点A和B，两点的坐标别为2和10，如果A点以每秒4个单位的速度向右运动，而B点以每秒2个单位的速度向右运动，那么在多少秒以后，A点可以追上B点？从这个问题可以看出，数轴行程追及问题也是两个对象处在不同的起始位置，然后依照不同的速度向同一个方向运动，最后在一定时间后处于同一个位置。

（二） 相遇类数轴行程问题。顾名思义，相遇类数轴行程问题就是在数轴上，有两个处在不同位置的数，然后分别以相同或是不同的速度相向运动，在一定时间之后相遇，处于同一位置。例如：在数轴上有A和B两个点，其坐标分别为-12和12，若A点以每秒2个单位的速度向右运动，B点以每秒4个单位的速度向左运动，那么当其相遇时，距离原点多少个单位？这就是一个相遇类的数轴行程相遇问题，其核心思想是和传统相遇问题一致的，只是载体出现了变化。

（三） 远离类数轴行程问题。这类问题就是两个对象在同一位置或是不同位置，在相同时间或是不同时间，以不同的速度同向或是反向运动，要求出在一定时间之后距离多远。例如：数轴上有A和B两个点，其分别处在2和6的坐标位置，其中点A以每秒2个单位的速度向左运动，点B以每秒3个单位的速度向右运动，那么两个点要达到44个单位的距离，需要花费多少秒的运动时间？这个问题就是比较典型的远离类问题，两个单位之间的距离越来越远，最后达到问题所求的距离。

（四） 速度类数轴行程问题。这类一般是在限定时间和距离的情况下，对其中一个对象的运动速度进行求解。例如：在数轴上存在两个点A和B，其中点A坐标为2，点B坐标为8，两个点都向右侧运动，3秒后相距3个单位，已知点B的速度为每秒4个单位，那么点A的速度为多少？这就是一个比较典型的求解速度的问题，其解题关键和传统行程速度问题是一致的，需要在教学中予以注意。

二、 数轴上行程问题的解题要點

数轴上行程问题的类型多样，条件、问题都不相同。但是，由于这类问题本身的特殊性，使其存在一些关键要点，在解题过程中，就需要对这些关键要点予以有效把握，从而确保解题准确。

第一，要明确数轴上两个点之间的距离关系。和传统行程问题不同的是，在数轴上的数有正负之分，点所在位置的坐标决定了正负关系。要对两个点之间的距离进行确定，则一定要用右侧点的坐标减去左侧点的坐标，这样得出的结果就是两者之间的距离。例如点A和点B的坐标分别为3和-2，那么右侧减左侧就是3-（-2）=5，即二者距离为5个单位。

第二，点在数轴上的运动可以看作一个加减过程，即向右侧移动看作加，向左侧移动看作减。比如，点A的坐标为5，如果向右侧移动5个单位，那么就是5+5=10，移动后的坐标就是10。如果向左侧移动3个单位，那么就是5-3=2，移动后的坐标就是2。

第三，数轴上的行程问题实际上就是将问题放在了数轴当中，使得问题本身就存在数形结合的属性。因此在解答相关题目的时候，不能脱离数轴单纯想象，而应该将数轴画出来，实际演示数轴上点的具体移动过程，理清其中的运动关系，从而找准解答题目的关键信息。

三、 数轴上行程问题的解答方法

（一） 图形法

数轴上行程问题本身具有的数形结合属性，就使得图形法成为了解答此类题目的最有效手段。在解答相关题目的时候，根据题意画出数轴，在数轴上标出对应的点，以及其在移动前后的位置关系，以此明确运动过程，得出解题思路。在教学中，教师就需要以实际的题目对学生进行引导，让学生能够对图形法有效掌握。

例如：在数轴上有A和B两个点，其中点A的坐标为-3，点B的坐标为2，如果点A以每秒3个单位的速度向右移动，点B以每秒2个单位的速度向右移动，那么在多少秒之后，点A和点B坐标相同？这就是一个简单的追及问题，依据图形法，可以画出A、B两个点的位置示意图，如下图所示。首先可以得出两个点之间的距离，即AB=2-（-3）=5，即相距5个单位，然后可以就算两个点移动速度的差值，即3-2=1，最后就可以计算出相遇时间：5÷1=5秒。

从这个题目可以看出，在数轴上将题目中的位置关系表示出来，就可以非常明显地看出两者之间的距离关系，然后根据题目所给出的速度关系，就可以快速求出相遇时所需花费的时间。不仅如此，如果将上述题目的条件进行简单转化，就可以改变成一个远离类问题：点A移动速度为每秒2个单位，点B移动速度为每秒3个单位，则两者相距10个单位时，经过了多少时间？改变条件之后就可以得出，之后相距为10个单位，之前相距为5个单位，因此运动使得两者距离增加了5个单位。而根据速度差3-2=1，可以得出时间为5÷1=5秒，即5秒后两者距离拉大到10个单位。endprint

（二） 转化法

数轴本身的抽象性使得学生在理解上容易出现问题，因此在遇到相关题目的时候，可以将数轴行程类问题转化成传统的行程问题，在求解之后再将结果转化到数轴之上。通过这样一个转化的过程，就将抽象的问题转化成了学生所熟知的具象问题，可以实现有效解答。

例如：有A和B两个点在数轴上，其坐标分别为1和9，在3秒后两者相距2个单位，已知点B的速度为每秒4个单位，但是方向未知，试求点A的速度以及运动方向。这道题目难度稍大，若是通过图形法求解，由于点B的运动方向未知，学生很可能在图形上绕晕自己。因此，可以将其转化为传统的行程问题，方便求解。因此可以将其转化为：甲乙两人相距8公里，3小时后相距2公里，已知乙的速度为每小时4公里，那么试求甲的速度。转化之后可以发现，3小时乙运动了12公里，因此甲乙两人不可能相向而行，必然是同向运动。由此可以设甲的速度为x，则（x-4）×3=8-2，可以解得x=6。再将答案转化到原题中，即点A的运动速度为每秒6个单位。然后再考虑运动方向，由于点A速度大于点B，若是向左运动，两者距离会越来越大，因此两者都是向右运动。由此可得，点A的速度为每秒6个单位，向右运动。

（三） 联想法

所谓联想法，就是将数轴上的点联想为其他动态的对象，如一只蚂蚁、一只蜜蜂，通过蚂蚁、蜜蜂的形象运动，消除题目本身的抽象性。

例如：数轴上的两个点分别为A和B，坐标分别为-10和5，现在点A向右侧移动2秒，每秒移动2个单位。然后点B向左移动，每秒移动3个单位，2秒之后，两个点相距多少个单位？对于这个题目，就可以采取联想法，将点A想象为一只蚂蚁，将点B想象为一只蜜蜂，然后就是蚂蚁先移动2秒，再和蜜蜂一起移动。于是可以得出：2×2=4，3×2=6，2×2=4；4+6+4=14，15-14=1，即两者相距1个单位。

结束语

数轴上的行程问题在初中階段是一个重要的知识点，对其形成有效掌握，才能对数轴的相关知识清晰理解。对此，需要明确这类问题的类型特点，掌握解题关键，对图形法、转化法和联想法巧妙利用，确保可以高效、准确地解答这类题目。

参考文献：

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