浅析高中数学数形结合思想

赵智霄��

摘要：本文阐述了数形结合的作用和应用的基本原则，并在此基础上，以数形结合在高中三角函数、集合和解方程中的应用为例，对数形结合思想方法进行实例分析，以期对高中生将数学问题化难为易、化繁为简以及今后数学的学习有所裨益。

关键词：高中数学；数形结合；数学方法

一、 数形结合的含义

“数形结合”是一种思想，主要指的是数与形之间的一一对应关系。其实质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象研究直观的细节，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

二、 数形结合思想的作用

（一） 培养学生思维能力的灵活性和形象性

有些数学题，当其仅以数的形式来陈述时，常常显得复杂、抽象，而通过合理地观察、联想，由形助数，提示形与数的潜在联系，可以帮助理解问题的本质，增强思维能力在解题中灵活性和形象性程度。

（二） 促进高中、大学阶段数学知识的有效衔接

数形结合是一种极富数学特点的信息转换。高中数学内容和大学阶段相比，简单具体，解答过程雷同性较高；而大学数学内容则抽象性更强。因此，在进入大学阶段之前，学生需要一个相对适应的学习过程。

（三） 激发学生学习的兴趣

数形结合能够将高中课本中比较抽象的知识点形象化，以图形的形式表现出来，有利于学生在这种较为新颖的解题方法上对数学产生特有的情感，进而激发起学生对数学的学习兴趣。

三、 数形结合思想应用原则

（一） 等价性原则

等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换应该是等价的。图形不仅是一种直观而浅显的说明，同时也是抽象而嚴格证明的诱导，在数形结合的具体应用过程中，一定要重视等价性原则。

（二） 双向性原则

双向性原则是指既对其进行几何图形直观的分析，又进行相应的代数抽象的探索。代数关系的表示及运算比几何直观的图形结构更具有优越性，避免了几何构图的许多局限性，反之图形表示又更加直观，这体现了“数”与“形”的和谐之处。

（三） 简单性原则

简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，既使几何图形完整直观，又使代数计算简洁明了，避免复杂繁琐的运算，缩短解题实践，降低难度，达到“化难为易、化繁为简”的目的。

四、 高中数学数形结合思想的应用

（一） 在三角函数中的应用

【例1】求函数y=sinx2+cosx的最大值和最小值。

【解】y=sinx-0cosx-（-2）表示点P（cosx，sinx）与点A（-2，0）连线的斜率，而点P在单位圆上，

如上图，过点A作单位圆的切线AB，AC，易知kAB=33，kAC=-33分别为斜率的最大值和最小值，所以函数y的最大值和最小值分别为33，-33。

【评析】分式函数的值域问题可以考虑用数形结合的斜率模型来解决，且在实际运用时应牢记动点（asinα，acosα），（acosα，asinα）都表示圆。

（二） 在集合中的应用

【例2】设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，若CB，求实数a的取值范围。

【解】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函数，

∴-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}。

分别画出题中A、B、C的图像，如下图所示：

z=x2的定义域右端点x=a有以下不同的位置：

①当-2≤a≤0时，a2≤z≤4，即C={z|a2≤z≤4}，

要使CB，必须且只需2a+3≥4，得a≥12与 -2≤a<0矛盾。

②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C={z|0≤z≤4}，

要使CB，由图可知必须且只需 2a+3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2。

③当a>2时，0≤z≤a2，即C={z|0≤z≤a2}，

要使CB，必须且只需a2≤2a+3，a>2，解得2

④当a<-2时，A=φ，此时B=C=φ，则CB成立。

综上所述，a的取值范围是（-∞，-2）∪12，3。

【评析】本题解决的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法（结合二次函数的图像）确定集合C，简洁明了。

（三） 在解方程和不等式中的应用

【例3】若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在[0，3]上有唯一解，求m的取值范围。

【解】原方程等价于：

-x2+3x-m>0，3-x>0，0≤x≤3，-x2+3x-m=3-x

-x2+3x-m>0，0≤x≤3，-x2+4x-3=m。

令y1=-x2+4x-3，y2=m在同一坐标系内，画出它们的图像如下图所示：

其中注意0≤x<3，当且仅当两函数的图像在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解。由上图可见，当m=1或-3≤m≤0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[-3，0]∪{1}。

【评析】运用数形结合解方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图像的直观性研究方程的解的情况。

综上所述，数形结合的思想方法作为数学思想方法的一个重要组成部分，在高中数学解题中发挥巨大的作用。当我们求解一道题目时，如果思路受阻，可以尝试从图形的角度进行解答，或许会得到意想不到的收获。

参考文献：

[1]杨清.初中数学最优学习方法[M].合肥：安徽文艺出版社，2013：100.

[2]孙丽艳.数形结合方法在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育，2015，（10）：127.

[3]刘桂玲.数学结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015，（05）：106.