二面角相关问题的解法

■安徽省安庆市第二中学高二(4)班 鲍 蓉

求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一,也是高考中的“热点”问题。那么如何求二面角呢?学习之余,总结了几点方法,望与大家相互学习借鉴。

此法是最典型也是最常用的方法,是基于对二面角的平面角定义理解后的熟练运用。

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合。设二面角CAF-E的大小为θ,求tanθ的最小值。

解析:如图1,过E作EN⊥AC于点N,过N作MN⊥AF于点M,连接ME。易知EN⊥侧面A1C,根据三垂线定理得EM⊥AF,所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角,即∠EMN=θ。设∠FAC=α,则0°＜a≤45°,在Rt△CNE中,NE=EC·sin60°=3。在Rt△AMN中,

图1

评注:三垂线法的关键是在“变形”和“变位”中能迅速作出所求二面角的平面角,再在该角所在的三角形中求解。

在二面角的两个面内分别作棱的垂线,两条垂线所夹的角即为二面角的平面角。

如图2,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°。

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

图2

(2)若PA=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值。

解析:(1)略。

(2)因为AB=AP=1,∠BAP=90°,所以△ABP为等腰直角三角形。因为ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形。设AB=2,则AB=DC=PA=PD=2。在△PAD中,∠APD=90°,所以AD=22。同理PB=PC=22。所以PB=AD=BC=PC=22,所以△BPC为等边三角形。过A作AE⊥PB于点E,过C作CF⊥PB于点F。因为△ABP为等腰直角三角形,△BPC为等边三角形,所以E为BP中点,F为PB的中点,所以E、F重合。所以∠AEC即为A-PB-C的二面角。连接AC,由(1)得∠ADC=90°,所以AC=23,所以AE=2,CE=6。所以cos∠AEC=

评注:要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。

将“无棱”向“有棱”转化,关键是正确地找出二面角的棱,步骤:①找出两个平面内的平行线;②由交点向两平行线作垂线。

图3

如图3,已知正四棱锥A-BCDE,求α与β两面的夹角。

解析:过点A作直线l∥ED∥BC,即所找的棱。由图形为正四棱锥,知α,β均为正三角形。分别过A作AF⊥DE于点F,作AG⊥BC于点G,所以∠GAF为所求,所以cos∠GAF=。

评注:在已知几何体中,没有给出二面角的棱而求二面角的平面角的某一种三角函数值,求解的基本策略是“转化”,转化的策略通常有平移平面、延展平面等。