GeoGebra在高职微积分概念教学中的应用举例

陈婧++张东海++王晓锋

摘 要 在高职院校微积分教学中，概念的理解对后续学习影响较大，却正是学生的困难之处。GeoGebra在微积分概念教学中优势明显，以极限、导数、定积分为例进行具体阐述。

关键词 GeoGebra；几何画板；高职院校；微积分

中图分类号：G712 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2017）10-0042-04

1 引言

微积分是高职院校高等数学基础教学的核心内容，这门课程能够培养学生的逻辑思维、综合分析能力，也为其他后续课程的学习提供了有力的数学工具。但这门课程对高职校学生尤其是文科生来说有一定难度，使得学生在学习过程中容易产生畏难情绪，而且有的学生即使在计算方面取得高分，也不能正确理解相关概念及其相互关系[1]。

“磨刀不誤砍柴工”，正确理解概念对后续知识的融会贯通、知识的应用、能力的迁移帮助很大。此外，对于高职院校文科学生，有的知识点根据教学大纲要求只需达到“了解”的认知要求。

GeoGebra是一个结合代数、几何、图形、概率统计、数据表和计算的免费动态数学软件，比几何画板操作更简单，同时具备几何画板没有的符号计算、微分、统计等功能。在微积分的教学中利用GeoGebra，可以帮助学生更好地理解概念以及直观了解一些结论。

2 概念教学的重要性

美国科罗拉多州立大学Kelly K. Chappell[2-4]采用量化研究和质化研究结合的方法，探讨教育环境（基于概念教学的或者传统的）对学生概念理解、应用技能、迁移能力等方面的影响。结论指出：概念性的理解有助于解题技巧的掌握；基于概念的教学方法在保证学生解题技巧的同时，加深了学生的理解；理解而掌握的知识与程序性知识更容易推广到陌生的领域[5]。

3 GeoGebra在概念教学中的应用

GeoGebra在极限概念教学中的应用 函数y=f（x），当x→x0时极限为A的定义为：任意给定的正数ε，总存在一个正数δ=δ（ε），使得当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|<ε恒成立，记为。

函数极限的定义描述较为抽象，同时也是学生初次接触高等数学中类似概念，所以在理解过程中有一定难度。利用GeoGebra制作课件，可以直观地帮助学生理解该定义。课件完成步骤要点如下：

1）在绘图区用“描点”工具找点A、B、C、D、E、F（用以确定所需图象的大致位置）；

2）在命令框中输入多项式拟合[A，B，C，D，E，F，5]，产生函数f（x）的图象和函数式；

3）在命令框中输入描点[{1，f（1）}]，在绘图区得到点M（1，2.77），过M分别作x、y轴的垂线段；

4）创建滑动条，名称为δ，最小值0，最大值0.5，增量为0.01；

5）在命令框中输入描点[{（1+δ），f（1+δ）}]，在绘图区得到点N，其横坐标为（1+δ），纵坐标为f（1+δ），过N分别作x、y轴的垂线段；

6）在命令框中输入描点[{（1-δ），f（1-δ）}]，在绘图区得到点G，其横坐标为（1-δ），纵坐标为f（1-δ），过G分别作x、y轴的垂线段；

7）隐藏点A、B、C、D、E、F，设置垂线段为虚线，用不同颜色区分；

8）在命令框中输入公式文本[M]、公式文本[N]、公式文本[G]，在绘图区出现M、N、G的坐标（如图1所示）；

9）点击“文件→导出→动画GIF”，生成δ变化时，点N、G移动的GIF动画。

在课堂教学中，可以拖动滑动条或者右击滑动条，选择“启动动画”进行现场动态演示，也可以直接将GIF文件插入在PPT课件中自动演示。学生可以从图象上直观地感受到δ趋于0，点N、G越接近，也可以从点M、N、G的坐标上看到这一变化。此外，可以在命令框内输入“极限[f（x），1]”，在代数区产生数字2.77，恰好是点M的纵坐标，验证了。

GeoGebra在导数概念教学中的应用 函数y=f（x）在点x0处的导数定义为：设y=f（x）在x0处的某邻域内有定义，且当自变量x0处有增量Δx时，若极限

存在，就称其值为y=f（x）在x0处的导数。

这个定义的描述是比较抽象的，学生较难理解。其实导数作为微分学中最主要的概念，是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学与几何学过程中建立的。把这个定义回归到具体问题中更容易理解，常见的例子有物体作变速直线运动的速度（如自由落体运动）、切线问题。可以利用GeoGebra制作有关切线斜率的课件，直观地帮助学生理解该定义，切线斜率也恰好是导数的几何意义。课件完成步骤要点如下：

1）在命令框中输入，在绘图区可得函数图象；

2）在命令框中输入x0=2；

3）在命令框中输入描点[{x0，f（x0）}]，在绘图区得A点，其横坐标为2，纵坐标为0.67；

4）创建滑动条，名称为Δx，最小值-2，最大值2，增量为0.05；

5）在命令框中输入描点[{x0+Δx，f（x0+Δx）}]，在绘图区得点B，其横坐标2+Δx，纵坐标f（2+Δx）；

6）在命令框中输入“直线[A，B]”，在绘图区得直线AB；

7）在命令框中输入，即为割线AB的斜率；

8）在命令框中输入公式文本[k]，在绘图区得k的值（如图2所示）；

9）点击“文件→导出→动画GIF”，生成Δx变化时，点B移动的GIF动画。

在课堂教学中，可以拖动滑动条或者右击滑动条，选择“启动动画”进行现场动态演示，也可以直接将GIF文件插入在PPT课件中自动演示。从课件上可见，当Δx趋于0时，B趋于A，割线渐变为切线。k的值趋于2，即在点A处的切线斜率为2。让学生体会逼近思想在导数概念的教学中的作用，加深对概念的理解。endprint

GeoGebra在定积分概念教学中的应用 在讲解定积分概念时，是通过求曲边梯形面积等问题从而归纳出“和的极限”这个模式。具体步骤是分割、近似求和、取极限。这种和的模式比较抽象复杂，定义的叙述也比较长。

用传统教学手法，教师只能“言传”，学生只能“意会”，缺乏直观感受，学生在理解过程中有一定的困难。而利用GeoGebra制作课件进行动态演示，直观生动，学生容易理解。下面介绍课件完成步骤要点。

1）在命令框中输入f（x）=x2。在绘图区可得函数图象。

2）创建滑动条，名称为n，最小值1，最大值100，增量为1。

3）在命令框中输入上和[f，0，2，n]。在绘图区得到n个以分割区间右端点处的函数值为高，宽为的小矩形，显示a=3.08（当n=10时），即上和的值。

4）在命令框中输入下和[f，0，2，n]。在绘图区得到n个以分割区间左端点处的函数值为高，宽为的小矩形，显示b=2.28（当n=10时），即下和的值。

5）在工具栏中选择“复选框按钮”，在绘图区单击弹出对话框中，输入标题“上和”。在“从下列列表、代数区或绘图区中选择对象”下拉框中，选择“数值a：上和[f，

0，2，n]”。在工具栏中选择“文本”，在绘图区单击弹出对话框，输入“上和=”，再在对象下拉框中选择a。同理制作下和复选框按钮（如图3所示）。

利用这个课件可以直观演示：当n越来越大时，小矩形面积之和越来越接近曲边梯形的实际面积，也可以从动态数据上验证该结论。此外，教材中往往是以各小区间的左端点对应函数值作为小矩形的高，即对应“下和”命令，所求面积和比曲边梯形面积小。而利用软件中的“上和”命令，可以以各小区间的右端点对应函数值作为小矩形的高，所求面积和比曲边梯形面积大。但是这两种不同的取近似方式下，只要n越来越大时，都是越来越接近曲边梯形实际面积的，由此也验证了分点的任意性。

利用复选框按钮，可以根据需要分别显示上和和下和。图4为n=20时只显示上和的情况，图5为n=30时只显示下和的情况。

4 GeoGebra在展示结论方面的应用

对于高职院校文科学生，有的知识点根据教学大纲，只需达到“了解”的认知要求。GeoGebra整合了代数、几何、微积分，代数区的代数对象和绘图区的几何对象是一一对应的，同步变化，操作方便。借助于GeoGebra可以方便快捷地在课堂上现场演示，让学生直观了解相关结论。同时，由于软件在这部分操作简单，学生自己也可以尝试进行相关结论的验证和探索，培养他们的自我学习能力。

如重要极限之一，可以弱化其推导过程，让学生掌握结论即可。在命令框中输入，在绘图区得此函数图象。在命令框中输入y=e，得到直线y=e的图象（图6）。让学生观察x→∞时，此函数的变化趋势。此外，在命令框中输入“极限[（1+（1/x））^x，∞]”，可在代数区直接计算出此函数的极限。（注：不能得精确值e，只能得近似值2.72。）

再如函数，当x→0时是振荡无极限的，手工绘图很难实现，用软件作图一目了然（图7）。

在空间解析几何部分，二元函数所对应的图形通常是曲面，手工绘图烦琐且不精准；利用GeoGebra的3D功能，只需输入解析式，可直接得到对应的立体图形。如在命令框中输入z=x2+y2，在3D绘图区得到对应的抛物面。

5 结语

在微积分教学中，学生对概念的理解对后续学习有重要意义，却也是高职学生的困难所在。GeoGebra可以弥补传统教学方式的不足之处，一方面让叙述晦涩、难以理解的概念变得直观、易理解，从而提高课堂教学效率，调动学生的学习积极性；另一方面，在重要极限、空间解析几何等方面其展示性能优越，且操作方便，可以让学生自行研究探索，对培养学生的探究创新能力有很大帮助。

参考文献

[1]高雪芬，鲍建生.大学生对微分概念的理解及认知方式分析[J].数学教育学报，2013，22（1）.

[2]Chappell K K. Effects of Concept-Based Instruction on Cal-culus Students Acquisition of Conceptual Understanding and Procedural Skill[M].Washington， DC： American Mathematical Society，2006.

[3]Chappell K K. Transition Issues That Reform Calculus Stu-dents Experience in Traditional Second Semester Calculus[J].Problems Resources and Issues in Mathematics Undergraduate Studies，2003（8）：129-151.

[4]Chappell K K， Killpatrick K. Effects of Concept-based Ins-truction on Students Conceptual Understanding and Procedural Knowledge of Calculus[J].Problems Resources and Issues in Mathematics Undergraduate Studies，2003（8）：17-37.

[5]高雪芬.微积分概念教學研究之述评：以Chappell文章为例[J].教学研究，2012（5）：36-38.endprint