小子样试验条件下的序贯概率圆精度检验方法

郑小兵，孙 翱，雷 刚，王宝和，刘文超

（1.大连91550部队，大连 116023；2.西安高新技术研究所，西安 710025）

小子样试验条件下的序贯概率圆精度检验方法

郑小兵1，孙 翱1，雷 刚2，王宝和1，刘文超1

（1.大连91550部队，大连 116023；2.西安高新技术研究所，西安 710025）

小子样试验条件下的精度评定问题是远程飞行器靶场试验的关键问题之一，属于未知参数的假设检验问题。通过分析装备飞行试验双方风险管控和试验成本，提出了基于序贯的命中精度概率圆鉴定方法。通过落点概率密度分布函数推导出概率圆计算公式，设计了假设条件下的概率圆计算流程和仿真算例，总结出概率圆半径、试验子样和双方风险的关系，讨论了检出比λ的使用原则，基于保证使用方风险不变的原则提出传统概率圆检验方法的修正策略。利用仿真试验结果证实了基于序贯的概率圆方法能够保证检验精度，并且提高了试验效益。飞行试验结果证实了该方法的可行性。

小子样试验；精度评定；概率圆；序贯

命中精度是衡量远程飞行器作战使用能力的重要战术技术指标，其分析与评估是管理机关、论证部门、试验靶场、使用部队和研制单位各方都极为关注的焦点问题之一。但是由于政治、经济和地理等客观因素，在装备定型试验过程中安排的实际飞行子样数较少，并且不是最大射程状态下的飞行弹道，使得传统的经典试验统计方法无法进行评定。通常采用验前信息通过相容性检验后补充试验样本信息，采用弹道折合方法将飞行试验各误差折合到最大射程状态[1-3]。关于仿真子样可信度问题和弹道折合带来的误差影响问题这里不再做专题讨论，假定参与评定的试验样本均为全程弹道的实飞子样。

飞行器的精度指标一般包括射击准确度和射击密集度两个要求，不仅要求飞行器有一定的密集度，而且对落点散布中心离开目标的的距离也有要求。新型飞行器使用圆概率偏差（CEP）来综合反映准确度和密集度的四个指标（μx,μy,σx,σy），精简了精度评估方法。小子样精度评估方法一般采用概率圆方法，该方法是在研制方和使用方风险相当原则下确定被试产品落点散布的圆半径，能够有效解决传统精度评定方法中需要预先确定射击准确度问题[4-6]。本文在充分研究概率圆评定方法设计原则和使用策略的基础上，基于使用方接收风险不变假定条件讨论了概率圆方法的提前截止条件，对于节省试验成本消耗具有很大的实际使用价值。

1 精度评定的概率圆方法

假定对平面目标射击，落点坐标系的原点定义为理论目标在地球参考椭球面上的投影点；纵轴为发射点至目标点的大地线在目标点的切线，指向射程增加的方向；横轴垂直于纵轴指向射向的右方。弹头实际落点在落点坐标系中的坐标以(X,Z)表示，且(X,Z)服从正态分布，纵横向统计独立，即(X,Z)～N圆概率偏差表达式为：

式中：P=50%时，R就是圆概率偏差（CEP）；Xμ、Zμ为纵横向的射击准确度；σX、Zσ为纵横向的射击密集度。

飞行器命中精度鉴定中，往往采用下列简单假设：

其中：CEP0为给定的要求值；λ为检出比，由研制方和使用方共同协商事先确定。

不妨假定对应于原假设的射击准确度和射击密集度分别为

而对应于备择假设的射击准确度和射击密集度分别为

假定共进行了n次试射，令m为落入以R为半径的圆内的飞行器数，取m为统计量，则

考虑如下鉴定方案：当m≥m*时，接受原假设，即认为此飞行器的落点精度符合要求；否则拒绝原假设，认为此飞行器的落点精度不合格。m*为检验门限。

研制方风险α（即弃真概率）和使用方风险β（即采伪概率）分别为：

综合式(5)和式(6)可以看出，当射击准确度、射击密集度和检出比确定后，试验的研制方和使用方风险与概率圆半径R和检验门限m*息息相关。

在飞行器试验方案设计中，一般要求双方风险α、β尽量接近，研制方风险α可稍大于使用方风险β，且通常不大于 30%。在实际应用过程中，由于m*是整数，只调整m*时，α和β变化剧烈，很难找到适当的m*使得c=α/β≈1。因此可调整圆半径R的大小，使得双方风险基本相当。

在试验子样确定的情况下，通过调整概率圆R的大小得到使用方和研制方满意的风险，进而进行圆概率偏差CEP评定的方法，即为精度评定中的概率圆方法[7-9]。

2 概率圆方法的应用分析

2.1 概率圆检验软件设计

在装备研制总要求论证时，提出指标合同要求的的规定值和最低可接受值，即明确了μ0、σ0、CEP0和λ，同时试验总体方案中会明确n和m*，依据这些输入条件即可计算得到每一个试验子样下的概率圆半径，计算流程如图1所示。

图1 概率圆计算框图Fig.1 Architecture of probability circle computing

如果试验方案制定过程中希望利用概率圆方法来确定试验子样和检出门限。可以预设一个最低试验子样来计算概率圆半径，如果满足要求，则采用该试验方案。如果不满足要求，在通过调整试验子样数来找到达到双方风险要求的试验方案[10-11]。

2.2 概率圆检验的算例分析

假设μ0=100，σ0=500，λ=1.5，则计算得到CEP0=600 m，总共进行 8次试射。试验方案如表 1所示。

表1 概率圆检验实例Tab.1 Example for probability circle method

从这个案例可以发现，在射击准确度μ0、射击密集度σ0、检出比λ和试验样本n确定的情况下，概率圆方法应用呈现如下特点：

1）检验门限m*与双方风险α、β大致成反比关系，说明试验子样越充分，试验做出“弃真”或“采伪”的概率越小。大型武器试验希望通过较少子样得出评定结论已达到较高的费效比，试验设计中就需要在试验风险与试验消耗进行折衷考虑。对于飞行器精度评定工作而言，双方风险控制在0.1～0.3比较适宜。

2）检验门限m*与概率圆半径R成正比关系，说明概率圆半径定义越大，则要求落入概率圆半径的子样数越多。通过表 1可以观察到，m*越接近n/2，R越接近CEP，这与CEP的定义是一致的。而且概率圆半径R的变化也是有规律的，与正态分布的均值和方差息息相关。

3）考虑公式(6)，确定检验门限m*后，概率圆半径R增大，α减小，β增大；概率圆半径R减小，α增大，β减小。我们通过调整R来改变P0、P1，进而改变α、β使之达到双方可接受的风险，这就是概率圆方法的核心思想；

4）m*=n时的双方风险大于m*=n-1时的双方风险，这与试验方案设计时子样数的决策是吻合的。对本案例而言，制定8发7中的试验方案是最优的。伴随着试验子样数据的增多，概率圆方法对于决策在试验方案中最佳的检验门限也有着积极的参考作用。

2.3 检出比λ的讨论

在概率圆方法的应用过程中，一般而言，试验样本n、射击准确度μ0和射击密集度σ0已在武器装备总体方案中进行明确，而检出比λ的确定则会成为参试各方需要重点讨论的问题。

假设μ0=100，σ0=500，CEP0=600m。当试验子样n=6，检验门限为4的时候，调整检出比λ可得试验方案如表2所示。

表2 检出比调整影响分析Tab.2 Th e effect of λ change

从这个案例可以发现，在试验条件不变的情况下，通过调整检出比能够同时降低双方风险，且对应的概率圆半径随着检出比的增大而增大。

观察公式(5)和公式(6)可以分析出，增大检出比λ，研制方风险α不变，使用方风险β变小，此时双方风险不一致；通过放大概率圆半径R，减小研制方风险α，增大使用方风险β，直到双方风险α、β接近，最后达到降低双方风险的目的。

往往有一些试验设计者通过改变检出比来调整试验风险，这种做法是不可取的。检出比本质上是体现了武器装备某项指标最低可接受值与设计值之间的关系，是一个确定值。我们来观察公式(5)和公式(6)，可以看出，如果不设定检出比，即检出比为1，则P0=P1，α+β=1，那么不可能达到大体相当且相对较低的双方风险。这也就是说如果研制方的设计值与使用方的最低可接受值较为接近的话，不能得到一个双方满意的试验方案。规定值是研制方为达到最低可接受值且保证较小的试验风险下达的设计指标。设计值越高，设计及生产的成本越高，试验中被拒收的风险越小。因此在试验设计中不能通过调整检出比来达到控制风险的目的，检出比是由设计来保证的。

3 基于概率圆的序贯检验方法

观察表1可以看出，概率圆评定方法看似可以序贯进行，对应每一阶段的试验子样都有对应的概率圆和双方风险，但是是否可以利用表1组织试验评定值得商榷，下面我们先梳理一下概率圆评定方法的使用流程：

1）依据武器系统研制方案确定装备的射击准确度μ0、射击密集度σ0，计算得到CEP0；

2）依据武器系统设计方案确定检出比λ；

3）使用方和研制方协商确定双方能够接受的试验风险α、β；

4）依据上述要素确定试验方案，即确定试验子样数n和检验门限m*；

5）组织实施试验，最后给出命中精度的评定结果。

由上述分析可以看出，在试验方案制定过程中已经确定双方风险，并且依据双方风险确定检验门限m*，那么表1的方法在试验样本小于m*时不能给出令双方满意的试验结论。

仍作表1中的条件假设，同时假定双方能够接受的试验风险不大于0.17，即检验门限m*=7。分析表1可以看出在试验子样数小于7时给出的概率圆半径试验风险均大于双方可接受的试验风险，依据概率圆半径不能给出试验接收结论。但是如果某次试验精度大于1390 m，那么依据概率圆半径可以给出试验拒收结论。

试验方案设计中需要综合考虑研制方风险和使用方风险，基本原则是两者大体相当且使用方风险略低于研制方风险。在试验组织实施阶段发现，装备试验表现出来的性能指标优于设计值，这时研制方愿意接收更大的试验风险以更快得出试验结果。

基于以上分析，保证使用方风险满足要求，通过调整研制方风险得到不同试验阶段的概率圆判据如表3所示。

这样就可以得到既控制试验风险又节省试验消耗的基于概率圆的序贯检验方法。当试验中只要有一发落点落入半径为R1的圆内时，即可停止试验，做出接受原假设的决策。但是要考虑到精度指标是一个概率性指标，且一般随机误差占主要成分，通过较少试验子样得出评定结论试验风险较大。在试验组织实施阶段，建议序贯判断一般在试验子样大于n/2之后。

表3 基于序贯的概率圆检验结果Tab.3 Result of sequential probability circle method

4 概率圆方法的运用实例

4.1 概率圆方法的仿真验证

设计仿真试验来验证概率圆方法的实际应用效果。仍沿用上述的假设条件：μ0=100，σ0=500，CEP0=600 m，λ=1.5，n=8。分别进行命中精度为 CEP0/λ、CEP0、CEP0·λ三种试验输入的仿真试验，试验次数设为10000次，检验概率圆方法和序贯概率圆方法做出接收和拒收的概率。当试验次数大于4时给出序贯判断。

表4 仿真子样信息Tab.4 Information of simulation samples

观察仿真试验结果，可以得出如下结论：

1）当装备命中精度为CEP0时，研制方拒收风险为17.2%，当装备命中精度为CEP0·λ，使用方接收风险为16.7%。概率圆方法的仿真试验结果与表1中的理论计算结果基本吻合；

2）概率圆方法与基于序贯的概率圆方法试验结果大致相当，说明基于序贯的概率圆方法试验结果是可信的，且能够很大程度上节省试验成本；

3）当装备命中精度实际性能高于合同规定值时，本试验中假定高1.5倍，概率圆方法做出误判的可能性是很小的。一方面验证了概率圆方法的有效性，另一方面说明了在此情况下利用序贯方法提前做出判断是正确的。

4.2 试验中的具体运用

以近年完成鉴定的某型远程弹道式飞行器试验结果为方法验证子样，其中大部分为实际飞行子样，其余为依据地面试验信息的仿真补充子样。为保密起见，试验结果进行了等比例降密处理，假定CEP0为1000，μ0=167、σ0=833，n=8。令λ=1.5，m*=7，得到的概率圆检验方法如表5所示。

表5 基于序贯的概率圆试验设计Tab.5 The test design of probability circle method

试验共取得了7个有效试验子样，试验结果如表6所示。

表6 基于序贯的概率圆检验结果Tab.6 The result of probability circle method

依据本文中提出的基于序贯的概率圆方法，可以对试验结果做出如下判断：

1）7次试验落点偏差均小于1848，说明命中精度试验结果满足指标要求，即命中精度满足CEP0=1000的指标要求；

2）第3次试验落点偏差为1796，查表5可得需至少完成7次试验方可得出试验结论，即无法利用基于序贯的概率圆方法提前给出试验结论；

3）试验结果分布整体情况较为均匀，且出现不能提前做出试验判断的打靶结果，初步分析认为被试装备精度指标水平不会明显优于设计指标。

5 结 论

本文在假定纵横向的射击密集度和射击准确度满足正态分布条件下完成了概率圆检验方法关系式推导，进而结合装备试验鉴定工作讨论了检验门限、研制方风险、使用方风险和检出比等参数的内在联系，提出了在小子样试验条件下检验命中精度指标的序贯概率圆方法，并进行了序贯概率圆检验方法实际应用策略研究，最后利用仿真算例和实际试验结果验证了该方法的可行性。该检验方法基于的数据基础充分易得，理论推导严谨可靠，使用过程简捷高效，为靶场以及研制方进行命中精度检验提供了一套可行的工程应用方法。

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Sequential probability circle method for accuracy evaluation in small sample case

ZHENG Xiao-bing1, SUN Ao1, LEI Gang2, WANG Bao-he1, LIU Wen-chao1
(1.Unit 91550 of PLA, Dalian 116023, China; 2.Xi’an High-Tech Research Institution, Xi’an 710025, China)

The accuracy evaluation in small sample case is very important for strategic missile test, and it is hypothesis test for unknown parameter.Sequential probability circle method for accuracy evaluation is proposed based on analysis of both producer risk and user risk in equipment flying test.Computation of probability circle is framed based on probability density function of impact point.Calculating process and simulation example are designed in the condition of supposition.The relationship of probability circle radius,test sample and both risks is founded.The principle of checkup proportion is discussed.The progressive method of conventional probability circle test is advanced based on invariability of user risk.Simulation experiment results show that the sequential probability circle method can keep checkup precision and improve test benefit.The flight test results approve the feasibility of this method.

small sample; accuracy evaluation; probability circle; sequential

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0566-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.002

2017-05-18；

207-08-23

国家自然科学基金（41506220）；军内科研项目

郑小兵（1978—），男，博士，高级工程师，研究方向为导航、制导与控制。E-mail: zhengxb07@126.com