谈谈几种初中数学思想方法的运用

吴真真

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）45-0172-01

所谓数学思想，就是人们对数学知识的本质认识和对数学规律的正确理解，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，人们通常称之为数学思想方法。在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。

一、让学生了解“思想”并渗透“方法”。

初中数学教学中，要重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的探索过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成、获取新知识，并得到运用新知识解决问题的能力。

二、经过听讲、做习题等环节掌握“方法”，运用“思想”。 数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程，只有经过反复训练才能使学生真正领会。在解题时常常是几种思想方法相互渗透交织并用。下面我略举几例讲讲：

1.整体代入和转化思想

例1：已知x-3y=3 ，则 5-x+3y的值是（ ）

A.0 B.2 C.5 D.8

解：5-x+3y=5-（x-3y）=5-3=2

本题思想是“整体代换”和“转化”，这里变换出x-3y整体用3代换，体现了整体思想。“5-x+3y=5-（x-3y）”体现了转化思想。

练习：若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z=_____。

2.转化思想和换元法

例2：解方程：x4-x2-6=0

解：设x2=y （y≥0），则原方程变为y2-y-6=0可解得y1=3，y2=-2（不合题设，舍去），再由y1=3得x2=3，则x=±■。

本题的思想是“转化”，技巧是换元降次。式子“设x2=y （y≥0）”换元后降次了，于是四次方程“x4-x2-6=0”转化成了关于y的二次方程“y2-y-6=0”，化难为易，顺利将问题解决。

练习：已知实数x满足x2+■+x+■=0，那么x+■的值是（ ）

A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2

3.分类讨论思想

例3：解关于x的方程：2ax-5=-x

解：移项整理得（2a+1）x=5

当2a+1≠0即a≠-■时，方程解为x=■

当2a+1=0即a=-■时，方程无解。

练习：（1）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的對边分别为a、b、c， a=3，b=7，求△ABC的周长。

（2）已知：|x|=3，|y|=2，且x·y<0，则x+y的值等于（ ）。

4.方程与不等式思想

例4：某服装老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购A型号9件，B型号10件则要1810元。若购进A型号12件，B型号8件则要1880元。

（1）求A、B两种型号服装每件多少元？

（2）若售一件A型服装可获利18元，售一件B型服装获利30元，老板决定某次进货A服装数量是B服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可进28件，若想这次售完货后能赚不少于699元的利润，问有几种进货方案？如何进货好？

解：（1）设A型服装每件x元，B型服装每件y元，则有

9x+10y=181012x+8y=1880

解得：x=90y=100

（2）设老板这次进A型服装a件，B型服装b件，则有

18a+30b≥699 （1）b=■ （2）a≤28 （3）

将（2）式代入（1）且两边同除3得到：a≥23， 又由（3）知a≤28，因为a、b是衣服数量应为整数， 所以a的取值可为 23，24，25，26，，27，28。但要使b为整数时，a只能取24，26，28。

所以有三种进货方案可使利润不少于699元。

方案1：进A型服装24件，B型服装10件

方案2：进A型服装26件，B型服装11件

方案3：进A型服装28件，B型服务12件。

本题第（1）问采用方程思想简洁解题。第（2）问用不等式组求出a的取值范围，然后根据实际情况进行取舍顺利解决本题。

练习： 某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元。

（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元。请你帮助该超市设计相应的进货方案。

5.数形结合思想

例5：已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简代数式a-a+b+c-b+a-c

解：由数轴可知：a>0，c0

所以a-a+b+c-b+a-c = a+（a+b）+（b-c）+（a-c）=a+a+b+b-c+a-c=3a+2b-2c

本题根据图形（数轴）定出a、b、c的正负及它们绝对值的大小从而化去原题中绝对值的符号达到化简的目的。这是“数”与“形”结合解题的效果，也就是数形结合思想的应用。

练习：a、b、c在数轴上的位置如图所示：且a=b， c-a+c-b+a+b=__________ 。

要让学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须让学生建立起自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善、不断总结的过程。

三、有意识地培养学生自我提炼、概括数学思想方法的能力。

教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。

总之，数学思想方法与数学知识的获得是相辅相成的，数学思想是对知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，它支配着数学的实践活动，是解决数学问题的灵魂。以数学思想方法为主线展开的数学教学活动，能够使得学生更加深刻地领会数学所包含的思想方法及由此形成的数学知识体系，切实加强学生的创新和实践能力。