浅析高中数学数列通项公式的求解方法

程雨轩(辽宁抚顺二中 辽宁 抚顺 113006)

前言:最近几年，在高考数列问题当中，经常会遇到求通项公式的问题，尤其是在综合性较强的问题当中，求解通项公式通常是对数列问题加以解决的关键。所以，我们在对数列问题加以复习之时，需要对通项公式常见的求解方法加以归纳以及总结，这样才能更好的应对高考。

1 定义法

实际上，定义法指的就是对等差或者等比数列具体定义加以利用，进而对通项公式进行求解。我们在对这种方法加以使用之时，需要对题干当中数列形式进行观察，并且需要对已知数列进行适当变形，进而将其变成等差或者等比数列具体形式，之后再按照相应公式进行求解。

例如，已知a1=1，－=2，而且有an0，n∈N+，求数列具有的通项公式。

解析:上述问题主要是对等差数列具体定义进行考查，我们刚刚看到此题之时，常常感到没有解题思路，无从下手。然而，经过观察能够发现 {为等差数列，这样我们便可通过定义法进行求解。

又∵ an0，∴ an=n∈N+)

再如，已知a1=2，点(an，an+1)是函数y=3x上一点，求数列 { an}具有的通项公式。

解析:此题较为基础，主要对等比数列具体定义进行考查，所以我们同样可选用定义法对问题进行求解。

解:因为点(an，an+1)是函数y=3x上一点，

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n+1n

因此 { an}是把a1=2当作首项，把3当作公比的一个等比数列，所以可以得到通项公式为:an=a1qn－1=2 × 3n－1．

2 公式法

如果已知一个数列 { an}具有的前n项的和Sn和an间的关系，那么

在对数列通项an进行求解之时，便可用公式进行求解。

例如，已知一个数列 { an}前n项的和Sn，a1=1，an+1=2Sn+1，求数列 { an}具有的通项公式。

解析:在我们实际学习却见，借助公式法对通项公式加以求解属于基础题，然而有些时候我们无从下手是因为我们并未将Sn和an进行联系，进而没有发现其中隐含的关系。

解:根据a=2S+1能够得到an=2Sn－1+1(n≥2)，≥将两式作差可以得到=3(n

又因为a1=1，a2=3，因此有=3，所以=3(n≥1)，

因此 { an}是把a1=1当作首项，把3当作公比的一个等比数列，所以 an=3n－1．

3 累加法和累乘法

3．1 累加法。

形如an－an－1=f(n)，其中f(n)为等差、等比或者其他类型求和数列，便可用累加法进行求解。例如，已知数列 {，a1=1，an=an－1+3n(n≥2)，求an．分析:此题形如an－an－1=f(n)，而且f(n)是一个等差数列，所以可以选用累加法进行解题。

解:由已知可以得到:an－an－1=3n(n≥2)，

an－1－ an－2=3(n － 1) ，

……

a3－a2=3×3，

a2－a1=3×2，

把上述式子相加，能够得到:

an－a1=3×2+3×3+…+3(n－1)+3n=3×(2+3+…+n－1+n)

3．2 累乘法。

例如，已知一个数列 { an}，首项 a1=1 ，an=2nan－1(n≥2)，求an．

解析:通过适当变形，可用累乘法进行求解。

把上述式子相乘，可以得到:

又因为n=1之时a1=1成立，所以=2(n－1)2(n+2)．

结论:综上可知，高考当中的数列问题 对我们思维加以考查，同时还对其计算能力以及解题能力加以考查。对于数列问题而言，只要我们掌握相应的解题方法，便可以对问题顺利进行求解。针对求通项公式的数列问题来说，我们可用定义法、公式法、构造法、累加法以及累乘法，针对不同类型的数列问题，我们可以选择不同的求解方法，这样可以提高我们的解题效率以及准确率。