拟复射影空间CQ n中2—调和伪脐子流形

刘金梦+耿杰+宋卫东

摘 要 本文用活动标架法研究了拟复射影空间CQn中2-调和伪脐子流形，获得了这类子流形的一个积分不等式及推论，并得到了2-调和伪脐子流形是极小子流形的条件.

关键词 拟复射影空间；2-调和子流形；伪脐子流形

中图分类号 O18612 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2017）05-0080-04

The Pseudo-Umbilical Submanifolds with 2-Harmonic in a Quasi-Complex Projective Space

LIU Jin-meng1， GENG Jie2， SONG Wei-dong1*

（1.College of Mathematics and Computer Science， Anhui Normal University， Wuhu 241000， China；

2.Anhui Institute of Information Technology， Wuhu 241000， China）

Abstract In this paper， we study pseudo-umbilical submanifolds with 2-Harmonic in a quasi-complex projective space by method of moving frames. We get an integral inequality and ratioccination.Moreover，we also obtian the condition that pseudo-umbilical submanifolds with 2-Harmonic is minimum submanifolds.

Key words quasi-complex projective space； 2-Harmonic submanifolds； pseudo-umbilical submanifolds

設CQn是具有Kaehler度量的复n（n≥2）维黎曼复流形，若其曲率张量取为如下形式：

则称CQn为拟复射影空间[1].其中：g为CQn上的黎曼度量，J为CQn的复结构，a，b是CQn上的光滑函数，{λA}是CQn上的单位向量函数，称λA为CQn的生成元.

显然，当a=c/4，b=0时，拟复射影空间CQn是具有全纯截面曲率为c的复射影空间CPn.

按照Eells和Lemeine在文献[2]中的设想，姜国英在文献[3-4]中给出了黎曼流形间2-调和映射的充要条件.由此条件，文献[5-7]主要研究了复空间形式的2-调和子流形.近年来不少学者开始研究拟复射影空间2-调和子流形的相关问题，得到了一些研究成果[8-9].

本文将继续讨论拟复射影空间的2-调和伪脐子流形，得到以下结果：

定理1 设Mn是拟复射影空间CQn的紧致无边2-调和伪脐子流形，则有

其中Rijkl，Rαβij分别是Mn的曲率张量场R和法曲率张量场关于{eA}的分量.进一步，Mn的平均曲率向量场ξ，平均曲率H，第二基本形式模长平方S可分别表示为

参考文献：

[1] 宋卫东，朱 岩.拟复射影空间CQn+p中的全实伪脐子流形[J].吉林大学学报（理学版）， 2012，50（4）：673-676.

[2] EELLS J， LEMARE L. A report on harmonic maps[J].Bull London Math Soc， 1978，10：1-68.

[3] 姜国英.Rieman流形间的2-调和映射及其第一，第二变分公式[J].数学年刊， 1986，7（A）：389-402.

[4] 姜国英.Rieman流形间的2-调和映射等距浸入[J].数学年刊， 1986，7（A）：130-144.

[5] ZHU Y C， SONG W D. 2-Harmonic sunmanifolds in a Comples Space Form[J].J Math Res Expo， 2008，28（3）：727-732.

[6] 胡亚举，王丽娟，宋卫东.复射影空间的2-调和全实力流形[J].大学学报， 2009，24（1）：88-91.

[7] 范胜雪，宋卫东.复射影空间CPn+p2中具有2-调和的一般子流形[J].数学杂志， 2015，35（2）：375-380.

[8] 马金生，宋卫东.拟复射影空间CQn+p中的全实2-调和子流形[J].杭州师范大学学报（自然科学版）， 2014，13（5）：529-532.

[9] 吴 丹，宋卫东.拟复射影空间CQn+p中的全实伪脐2-调和子流形[J].宁夏大学学报（自然科学版）， 2014，35（2）：117-119.

[10] 朱 岩，宋卫东.拟复射影空间CQn+p中的全实极小子流形[J].吉林大学学报（理学版）， 2013，51（5）：855-859.

[11] 李海中.关于伪脐子流形的一个整体定理[J].数学杂志，1988，8（2）：161-165.endprint