拨开图形变幻的迷雾——苏科版数学八（下）“9.4正方形的判定和性质”案例研究

■顾明新

拨开图形变幻的迷雾
——苏科版数学八（下）“9.4正方形的判定和性质”案例研究

■顾明新

新课程强调学生学习的自主性和独立性，而数学的教学过程就是学生探究数学知识、发现数学规律、建构知识体系的过程。课堂要多为学生提供自主学习、自我展示、探究学习的舞台，教师的角色扮演则是课堂高效的关键。教师要善于通过营造和谐融洽的课堂氛围，调动学生的积极情态，引导他们最广泛地参与整个学习、讨论、合作交流的过程，鼓励他们大胆设想、发散思维、敢于实践、勇于创新，从而使不同层次的学生都能获得成功的体验以及进步和自信。深度探究更是突出学生在课堂中的主体地位，以改变学生的学习方式为着眼点，变被动学习为主动探究，使学生在分析问题和解决问题的过程中学会深入思考，学会思辨，进而提升学习的质量，提高解决问题的综合能力。现以苏科版数学八（下）“9.4正方形的性质和判定”的教学片段为例，剖析深度探究在课堂教学及学生思维中的促进作用。

一、合理引入，使深度探究有抓手

师：同学们，我们已经学习了平行四边形中的两类特殊四边形——矩形和菱形，研究了它们的性质和识别方法。今天，我们来进一步研究一种更为特殊的平行四边形，你们觉得是什么图形呢？

生：正方形。

师：正方形特殊在哪里呢？它具有什么特殊性质呢？

设计意图：教师根据师生交流的内容，在PPT中显示相应主题和图形。通过唤醒旧知识，实现向新知识的过渡。学生回顾矩形和菱形的定义、性质及识别方法，一方面再次固化了已有知识，另一方面为类比学习新知识做好了准备。仔细观察图形特征和几何元素变化是获得信息的前提。归纳总结出正方形的定义，教师通过问题情境引入，探究目的明确，给学生设置了展示智慧和才华的机会。在展示过程中，让学生养成仔细观察、严谨思考、表现自我的习惯，提高语言表达和自主探究、归纳总结的能力。

适合的有深度的探究学习是新课程理念所倡导的学与教的方式。教学中，教师坚持“一切以学生发展为本”的教育理念，根据学生的学习能力和教学需求，设置与学习者知识最近发展区要求一致的问题，通过适宜的方法引导他们观察思考、自主探究，发现数学一般规律，归纳总结新探究的知识点，从而提高课堂的教学效果，培养学生数学学习的兴趣，形成自主发现问题、探究问题、解决问题的良好思维品质。

二、有效深化，使深度探究有梯度

师：同学们，平行四边形或矩形或菱形或一般四边形，要具备什么条件才是正方形呢？我们如何识别正方形呢？

在画图尝试、独立思考及小组合作的基础上，学生初步厘清了“平行四边形—矩形（或菱形）—正方形”的变化过程。其中，对“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”的认识是一个曲折的过程，先是由优秀学生发现，并被其他学生验证认可，从而成为本节课学生智慧结晶的一个亮点。

师生共同梳理得出如下的知识结构示意图：

设计意图：在学生自主探究出正方形定义后，教师趁热打铁，创设问题链，让学生进一步深入探究正方形的识别方法。由于教材中除定义外，并没有给出具体的正方形的识别方法，所以该问题具有较强的开放性与挑战性。因此，采用小组合作探究是合适有效的方法。学生就边、角、对角线等维度开展分析、讨论后，教师适时给予肯定、赞许，以增强其交流分享的自信心。同时，应注重数学思想方法的渗透，“转化化归”“从特殊到一般”“分类讨论”等数学思想方法的灵活运用，让学生虽身处纷繁复杂的图形变幻之中，却能去繁化简，拨云见日，感受图形变化之美。

三、反思提炼，使深度探究显内涵

师：我们类比矩形、菱形的研究方法以及利用对称性，知道了正方形的边、角、对角线所具有的性质，那么平行四边形、矩形、菱形与正方形之间存在怎样的关系呢？

师：正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形是平行四边形吗？

通过师生交流得出平行四边形、矩形、菱形与正方形之间关系示意图。

设计意图：厘清平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，有助于深度认识和理解这几种特殊四边形的区别与联系。得出结论的过程中，要尽可能让学生先独立思考，再合作交流。在整个教学活动中，教师仅发挥组织者、引导者的作用。教师抛出问题后，学生自主探究，自主总结，探索相关知识，深刻体会正方形的特殊性。教师把课堂的主动权还给学生，学生自己学习，自己设问，自己解决问题。当遇到困难，思考无法再深入时，教师才介入，或给予方法上的指导，或给予精神上的鼓励。这种学生之间互教、互助、互学的方式，为学生个性潜能的发挥提供“催化剂”，使学生“好学”“乐学”。

四、反馈评价，使深度探究得固化

设置一组包含填空、选择及说理的题目。（题目略。）

设计意图：通过有层次的练习反馈，让学生更加清楚地辨析几种特殊平行四边形概念间的区别与联系，理解特殊与一般的关系，及时巩固所学知识，提升探究质量，使深度探究得到巩固。同时，通过反馈训练、探究互评，提高学生分析问题、解决问题的水平，发展逻辑推理能力。在反馈评价中，学生的差异性是存在的，有些体现在对基础概念的理解上，有些体现在对综合知识的运用上，有些体现在对逻辑的推理上……教师根据反馈情况，进行有针对性地点评、辅导及补救，让学生在纠错的过程中进一步强化认识和理解，让不同层次的学生都能有所收获。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”推理在数学中具有重要的地位，是最基本的数学思想。平行四边形与矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，这些图形的性质、判定及运用是几何中的重要内容，是培养学生逻辑意识和推理能力的有效素材。教学中，引导学生采取深度探究的方式，不断提高学生探究的积极性和主动性，有利于学生对学习内容的认识和理解，有利于学生在今后数学学习方式上的转变，有利于学生的可持续成长与发展。

（作者为庞彦福名师工作室成员，无锡市雪浪中学副校长）

领衔人点评：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。包括正方形在内的特殊平行四边形的性质、判定与运用是几何教学的重要内容，是促进学生推理能力螺旋上升的有效途径。教师要学会合理设计教学，善于经营课堂，不断提升教学水平。