quot;万变不离其宗quot;的数列求和问题

2017-11-27河南省郑州市第四十七中学

中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年10期

■河南省郑州市第四十七中学王伟

■河南省郑州市第四十七中学王伟

数列既是高中数学的主干知识,又是学习高等数学的基础,既具有函数的特征,又能构成独特的递推关系,因此新课程改革后数列仍是高考考查的热点,特别是对数列求和问题一定要重视。常见的数列求和方法有:①公式法,比如对等差或等比数列的直接求和;②分组求和法,比如对等差与对比数列的混合型或多个特殊数列混合在一起的数列求和,可将原来的数列分拆成两个或两个以上的特殊数列,然后利用公式法求和;③倒序相加法,主要用于倒序相加后对应项之和有公因子的数列求和,如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,把正着写和与倒着写和的两个式子相加,就得到了一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法;④错位相减法,可用于 “等差、等比”型的数列求和;⑤裂项相消法,比如形a1+a2+…+an。如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{an}是等差向量列,则下面四个向量中,与S21一定平行的向量是( )。

A.a10B.a11C.a20D.a21

解析:本题新定义了“向量列”与“等差向量列”。其本质是等差数列前n项和基本公式的运用,考查同学们的阅读能力,运用基本知识解决“新问题”的能力。

在等差数列{an}中,其中{an}为公差不为0的等差数列,把一个数列的各项拆成两项之差,即数列的每一项均可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项之和变成首尾若干项之和,这一求和方法称为裂项相消法。

新课程标准要求同学们对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和探究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题”。下面通过几类数列求和问题与同学们一起揭开“数列求和创新问题”的本来面目。

一、创新定义形式的数列求和问题

将向量a1=(x1,y1),a2=(x2,y2),…,an=(xn,yn)组成的系列称为向量列{an},并定义向量列{an}的前n项和Sn=21a11,类比等差数列的性质知S21=21a11,故与S21一定平行的是a11。该题答案为B。若数列{An}满足An+1=A2n,则称数列{An}为“平方递推数列”。已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图像上,其中n为正整数。

(1)证明数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列;

(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式。

解析:本题新定义“平方递推数列”,要求根据新定义的特征解决与其有关的问题,题目新颖,难度不大,抓住新定义数列的特征,结合数列有关知识就容易解决。

(1)因为an+1=2a2n+2an,2an+1+1=2(2a2n+2an)+1=(2an+1)2,所以数列{2an+1}是“平方递推数列”。

由以上结论知lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1),所以数列{lg(2an+1)}是首项为lg5,公比为2的等比数列。

(2)lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1,2an+1=52n-1,an=

lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5,Tn=52n-1。

点评:创新定义数列求和问题,是把数列的相关基本知识加了一件“华丽的外衣”,解题的关键要抓住新定义数列的特征,将其还原,运用数列的相关知识进行推理运算解决。

二、图表、图形等形式的求和问题

虽说在题目中设置图形、图表、三角阵等方式学生平时也有所接触,但这类试题对同学们读图能力、利用所学知识分析问题以及解决问题的能力要求较高,一直是个难点。同学们只有熟练掌握数列相关基本知识、充分发掘知识间的内在联系,并善于应用分析、推理等数学手段,才能很好地解决这类问题。

如图1所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n＞1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为( )。

图1

解析:本题以三角阵的形式给出了以3为公差的等差数列,形式新颖。但n从2开始取值很容易迷惑一部分同学从而导致出错。

由三角数阵可以归纳出图案中的点数构成以3为首项,以3为公差的等差数列。

an=a2+(n-2)×3=3n-3(n≥2)。将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图2),在2处转第一个弯,在3转第二个弯,在5转第三个弯,…,则第21个转弯处的数为。

图2

解析:本题以方形阵的形式给出了数列问题,考查第21个拐弯处的数,实质上考查等差数列的求和问题。难点在于同学们对图表转弯处数字特征规律的发现。

观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”。故在第21个转弯处的数为:

1+2(1+2+3+……+10)+11=67。

点评:以图表、图形等形式呈现的求和问题,要求同学们在具体解题时需要有较强的观察能力及快速探求规律的能力,它具有较强的选拔功能。由于这类问题对同学们综合能力要求较高,所以在知识的运用上一般比较基础。

三、以传统文化为背景的数列求和问题

如图3是一个类似“杨辉三角”的图形,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和,an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…,第n个数。

求an,2(n≥2且n∈N)。

图3

解析:“杨辉三角”,是我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中出现,是我国数学史上一个伟大的成就。“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系,通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出ai,j(i,j∈N*,i≥j)的通项式。

(1)由图易知a2,2=2,a3,2=4,a4,2=7,a5,2=11,……。

从而知{an,2}是二阶等差数列,即:

a3,2-a2,2=2,①

a4,2-a3,2=3,②

a5,2-a4,2=4,③

…