集合、函数知识结构与拓展

■郑州一中 周益华

集合、函数知识结构与拓展

■郑州一中 周益华

编者的话:基本知识和基本技能是高中数学的核心,同学们一定要高度重视。本期特约郑州一中周益华等几位老师为同学们解读相关知识。郑州一中是河南省名牌高中,多年来高考成绩一直在全省名列前茅。愿同学们通过阅读,能从中感悟知识的结构与拓展,把握高考命题特点与趋势。

一、知识结构框架

二、结构分析

集合与函数是整个高中数学知识的基础,也是高考考查的重点,集合的相关知识是为函数的定义做铺垫:函数是定义在两个非空数集上的特殊对应,特殊的是第一个集合中的任意一个元素在第二个集合中都必须有且只有一个元素与之对应。结合函数的名字做一个通俗的解释,就很好理解了,函就是信函、邮寄的意思,信怎么寄呢?一封信必须写且只能写一个收信人才能准确寄出,但一个人却可以收多封信,自变量就是信,函数值就是收信人,函数就是数集间一种像寄信一样的对应关系。明白了这一点,函数考什么就非常清晰了:两个集合一个关系!涉及特殊式子及抽象函数的定义域问题;涉及解析式、复合函数、分段函数的表示及图像变换问题;涉及单调性、奇偶性、周期性、导数的值域、最值问题。

三、实例分析

例1 已知y=f(x)表示过点(0,-2)的一条直线,y=g(x)表示过点(0,0)的另一条直线,又f[g(x)]=g[f(x)]=3x-2,A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=g(x)},求A∩B。

分析:将一次函数看作整体代入复合函数,利用待定系数法求解,注意集合间的运算法则。

解:设f(x)=k x-2,g(x)=m x,则k m x-2=3x-2,m k x-2m=3x-2,故m=1,k=3。

所以A∩B={(1,1)}。

小结:此题易错的地方是结果的表示形式,集合间的运算,结果仍是集合。

例2 设f(x)对任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时,f(x)＜0,f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值。

分析:判断f(x)的单调性,求出f(-3),f(3)。

解:令x=y=0,得f(0)=0。

令y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。

任取x1＜x2,x2=x1+m,则m＞0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+m)=f(x1)-f(x1)-f(m)=-f(m)＞0,所以f(x)为R上的减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6。

小结:解答此题时,函数奇偶性、单调性的判断是难点,突破方法为赋值法。

例3 设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a为常数)。

(1)求f(x)的解析式。

(2)若f(x)在[0,1]上是增函数,求实数a的取值范围。

(3)若a∈(-6,6),问:能否使f(x)的最大值是4?说明理由。

分析:f(x)与g(x)的图像关于直线x=1对称,则f(x)=g(2-x),f(x)在[0,1]上是增函数,高次函数为增函数时考虑导数,最值问题考虑区间端点值和极值。

解:(1)当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],所以f(x)=g(2-x)=2x3-a x。

当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],所以f(x)=f(-x)=-2x3+a x。所以f(x)=

(2)依题意f'(x)≥0,即-6x2+a≥0在[0,1]上恒成立,即a≥6x2在[0,1]上恒成立,所以a≥6。

(3)当a∈ (- 6,6)时,因为f(0)=0,f(1)=a-2≠4,所以要使f(x)在[0,1]的最大值是4,必须f'(x)=0有解x0,且f(x0)=4,由f'(x)=0,即-6x2+a=0,得

所以若a∈(-6,6),则当x∈[0,1]时,f(x)的最大值不可能是4。

因为f(x)是[-1,1]的偶函数,所以f(x)在x∈[-1,1]上的最大值不可能是4。

小结:此题的切入点为函数的对称性,定义域转换是需要关注的解题技巧。

四、跟踪练习

1.运货卡车以xk m/h的速度匀速行驶1 3 0k m,按交通法规限制5 0≤x≤1 0 0(单位:k m/h)。假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2 + x2

)L,司机的工资是3 6 0每小时1 4元。

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;

(2)计算当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值。(精确到小数点后两位,1 0≈3.1 6)

答:当x约为5 6.8 8k m/h时,行车的总费用最低,最低费用约为8 2.1 6元。

小结:第二问求最值亦可用求导判断单调性,应用题要做答。

(责任编辑 刘钟华)