功与能相关知识探微

■甘肃省金塔县中学 段福华

功与能相关知识探微

■甘肃省金塔县中学 段福华

解决力学问题的基本方法概括起来有两个:一是力的方法,即运用牛顿运动定律结合运动学公式求解;二是功和能的方法,即运用各种功能关系及能量守恒定律求解。一般来说,求解涉及加速度、时间等瞬时关系的匀变速运动(包括直线和曲线运动)问题时,可以用力的方法;求解单个物体的涉及做功和位移、不涉及加速度和时间的问题时,优先考虑使用动能定理;若研究对象是相互作用的物体系统,且出现能量的转化情况时,优先考虑使用能量守恒定律或机械能守恒定律。显然,功和能的方法具有更广泛的应用范围。现将功与能相关知识归纳总结如下,希望对同学们的复习备考有所帮助。

一、动能定理

1.内容:合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。分别对待;(4)若在运动过程中包含几个不同的物理过程,则在解题时,可以分段考虑,也可以将其视为一个整体过程,应用动能定理求解。

例1泥石流是在雨季由暴雨、洪水将含有沙石且松软的土质山体经饱和稀释后而形成的洪流。泥石流流动的全过程虽然时间很短,但由于其高速前进,具有强大的能量,因而破坏性极大。某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究,他们设计了如图1甲所示的模型:在水平地面上放置一个质量m=4kg的物体,让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动。推力F随位移x的变化情况如图1乙所示,已知物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s2。则:

图1

(1)在距出发点多远处,物体的速度达到最大?

(2)物体在水平面上运动的最大位移是多少?

解析:(1)由图1乙可知,F随x变化的函数方程为F=80-20x。物体的速度最大时,其受到的合力为0,即F=μmg=20N,所以x=3m。

(2)位移最大时,物体的速度一定为0,由动能定理得WF-μmgx=0,由F-x图像得推力F做的功

3.外力对物体做功与物体动能的关系:外力对物体做正功,物体的动能增加,这一外力有助于物体的运动,是动力;外力对物体做负功,物体的动能减小,这一外力阻碍物体的运动,是阻力,外力对物体做负功往往又称为物体克服阻力做功。功是能量转化的量度,外力对物体做了多少功,就有多少动能与其他形式的能发生转化。

4.应用动能定理需要注意的四个问题:(1)明确研究对象和研究过程,找出始、末状态的速度情况;(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等),明确各力做功的大小及正、负情况;(3)有些力在运动过程中不是始终存在的,若在运动过程中包含几个物理过程,且物体的运动状态、受力情况均发生变化,则在考虑外力做功时,必须根据不同情况,所以x=8m。

点评:物体所受的摩擦力为变力,不能使用W=Flcosα直接求解,应考虑使用动能定理。本题中力F随x均匀变化,因此变力F做的功可用F-x图像与坐标轴所围的面积来计算。

二、机械能守恒定律

1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。

2.表达式:(1)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和;(2)ΔEk=ΔEp,即动能的增加量(减少量)等于势能的减少量(增加量);(3)ΔEA增=ΔEB减,即物体A机械能的增加量等于物体B机械能的减少量。

3.判断机械能守恒的方法:(1)利用机械能的定义直接判断,根据E=Ep+Ek,只要动能与势能的和不变,则机械能守恒;(2)利用做功来判断,若物体或系统只有重力或弹力做功,虽受其他力,但其他力不做功或做功的代数和为零,则机械能守恒;(3)利用能量转化来判断,若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则机械能守恒。

4.应用机械能守恒定律解决实际问题的一般步骤:(1)明确研究对象和它的运动过程;(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清是否只有系统内的重力或弹力做功,判定机械能是否守恒;(3)确定物体运动的始、末状态,选定零势能参考平面后确定物体在始、末两状态的机械能;(4)根据机械能守恒定律列方程求解。

例2如图2所示,质量为m的小球与一根长为l不可伸长的轻绳连接,轻绳的另一端固定于O点。现将小球拉到与水平方向成30°角的上方(轻绳恰好伸直),然后将小球自由释放,求小球运动到最低点时受到轻绳的拉力大小。

图2

解析:小球被释放后,先做自由落体运动直到轻绳绷紧,设轻绳绷紧时小球的速度为v,则解得v=因为轻绳绷紧的瞬间,小球沿绳方向的分速度v2=vsin30°突变为0,而小球在垂直于绳方向上的分速度v1=vcos30°不变,所以小球在拉紧轻绳继续下摆到最低点的过程中机械能守恒,则小球在最低点做圆周运动所需的向心力为联立以上各式解得F=3.5mg。

点评:有些同学在求解本题时,容易忽视小球在过渡处的速度变化和机械能损失,直接对整个过程运用机械能守恒定律,这是由于对隐含信息产生了认识上的错误所致。

三、功能关系

1.功能关系的普遍意义:做功的过程就是能量转化的过程,功是能量转化的量度,做了多少功就有多少某种形式的能转化为其他形式的能。

2.重要的功能关系:(1)重力(弹簧的弹力或静电力)做功对应重力势能(弹性势能或电势能)的改变,即W重=-ΔEp=Ep1-Ep2;(2)合外力对物体做的功等于物体动能的改变,W合=ΔEk=Ek2-Ek1,即动能定理;(3)除重力、弹力以外的其他力做的功W其他与物体机械能的增量相对应,即W其他=ΔE机=E2-E1;(4)系统克服滑动摩擦力做功等于系统中产生的内能,即W滑=fs=E内;(5)安培力做功对应电能的改变,即W安=-ΔE电。

3.应用功能关系需要注意的问题:(1)分清力对“谁”做功,对“谁”做功就对应“谁”的位移,引起“谁”的能量变化;(2)注意功和能之间的一一对应关系,不同的力做功对应不同形式的能的变化。

例3如图3所示,有一倾角θ=37°的硬杆,其上套一底端固定且劲度系数k=120N/m的轻弹簧,弹簧与硬杆间无摩擦。一个质量m=1kg的小球套在此硬杆上,从P点由静止开始下滑。已知小球与硬杆间的动摩擦因数μ=0.5,P点与弹簧自由端Q间的距离L=1m,弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为取g=10m/s2。求小球在运动过程中达到的最大速度vmax。

图3

解析:设弹簧被压缩至x处时小球有最大速度vmax,则mgsinθ-μmgcosθ=kx,解得由动能定理得mgsinθ·(L+由功能关系得解得vmax=2m/s。

点评:小球在运动过程中,由小球和弹簧组成的系统的机械能并不守恒,但总的能量是守恒的。

四、能量守恒定律

1.内容:能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。

2.应用能量守恒定律解决实际问题的两条思路:(1)某种形式的能量减少,一定存在另外形式的能量增加,且减少量和增加量相等;(2)某个物体的能量减少,一定存在别的物体的能量增加,且减少量和增加量相等。

例4(2016年高考全国Ⅱ卷)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不拴结。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆形轨道BCD相切,半圆形轨道的直径BD竖直,如图4所示。物块P与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度为l,然后释放,物块P开始沿轨道运动,重力加速度大小为g。

图4

(1)若物块P的质量为m,求物块P到达B点时速度的大小,以及离开半圆形轨道落回到轨道AB上的位置与B点间的距离。

(2)若物块P能够滑上半圆形轨道,且仍能沿其滑下,求物块P质量的取值范围。

解析:(1)将弹簧竖直放置在地面上时,在物体从静止释放到弹簧被压缩到最短(弹簧长度为l)的过程中,物体的动能不变,物体的重力势能转化为弹簧的弹性势能,即弹簧的弹性势能Ep=5mgl。将该弹簧水平放置,并将弹簧压缩至长度为l时,弹簧的弹性势能等于5mgl。物块P从被释放到通过B点,由能量守恒定律得5mgl=μmg·4l+在物块P从B点运动到D点的过程中,由机械能守恒定律得,解得vD=2gl。因为vD＞v,所以物块P运动到D点后将以水平初速度vD做平抛运动。设物块P落回到轨道AB上所需时间为t,与B点间的距离为s,则,解得

(2)假设物块P的质量为m1,则在物块P从被释放到运动至B点的过程中,由能量守恒定律得若物块P能够滑上半圆形轨道,则vB1≥0,解得若物块P滑上半圆形轨道后还能沿其滑下,则最高不能超过半圆形轨道的中点C,假设物块P恰好到达C点,则在物块P由A点运动到C点的过程中,由能量守恒定律得5mgl=μm1g·4l+m1gl,解得故若使物块P不超过C点,则需综上所述,物块P质量的取值范围为

点评:因为教材中没有给出弹性势能的计算公式,所以一般需要利用能量守恒定律间接求出。若同一根弹簧的形变量(在弹性限度内)相同,则弹簧的弹性势能相同。

(责任编辑 张 巧)