“歌诀法”破解运动学问题

■河北省内丘中学 侯建敏

“歌诀法”破解运动学问题

■河北省内丘中学 侯建敏

运动学问题是历年高考的必考内容之一,考查的重点是匀变速直线运动规律及其应用。运动学问题的种类很多,涉及的公式很多,用到的方法也很多,使得很多同学在遇到运动学问题时总是感觉无从下手。下面就对运动学问题进行归类分析,并为了方便同学们理解和记忆,特将每类问题的解法总结成一句歌诀。

一、一物一过程类——一个过程五个量,知三求二莫相忘

与运动学相关的物理量一共有5个,分别为初速度v0、末速度v、加速度a、运动时间t和位移x。求解一个物体一个过程的问题时,必须已知在这一过程中的三个物理量才能求解另外两个物理量,因此这类问题的解法可以归纳为“一个过程五个量,知三求二莫相忘”。有时三个已知量中的某一个量并不是直接给出的,而是包含在隐含条件中。如:从静止开始运动,则初速度v0=0;最后停止,则末速度v=0等。2017年高考全国理综Ⅱ卷的第24题就属于此类问题,可以直接运用运动学公式求解。

例1航空母舰是大规模战争中的重要武器,灵活起降的战机是航空母舰的主要攻击力之一。我国“辽宁”号航空母舰上暂时还没有飞机弹射系统,美国“肯尼迪”号航空母舰上的飞机弹射系统可以减短战机的起跑位移。假设弹射系统对“F/A18”型战斗机作用了t0=0.2s时间后,可以使这个型号的战斗机达到一定的初速度v0,然后战斗机在甲板上起跑,加速度a=2m/s2,经过t=10s时间,达到要求的起飞速度v1=50m/s。求:

(1)战斗机离开弹射系统瞬间的速度是多少?

(2)航空母舰甲板至少应为多长?

(3)弹射系统对战斗机所提供的加速度是多少?

解析:(1)由速度公式v1=v0+at得v0=v1-at=50m/s-2×10m/s=30m/s。

(2)战斗机在起飞过程中的位移x=(10s)2=400m,所以航空母舰甲板长度至少应为400m。

点评:本题中(1)问,在战斗机加速的过程中,已知末速度、时间和加速度这三个物理量可以直接用公式求解初速度;(2)问在战斗机加速的过程中,已知初速度、时间和加速度这三个物理量可以直接用公式求解位移;(3)问在战斗机被弹射的过程中,已知初速度、末速度和时间这三个物理量可以直接用公式求解加速度,其中初速度算是隐含条件。

二、一物二过程类——时间位移找关联,选用同量方程建

将一个物体的运动分成两个过程,这两个过程可以有多种组合形式,可能先是匀速直线运动再是匀减速直线运动,也可能先是匀加速直线运动再是匀减速直线运动,还可能是匀变速直线运动的两个阶段等。这类问题中的匀变速直线运动的已知量往往不足三个,不能直接用公式求解。解决这类问题的方法是找出两个过程间时间或位移的关系,选用同一运动学未知量列方程组求解,因此这类问题的解法可以归纳为“时间位移找关联,选用同量方程建”。

例2在公路上行驶的两辆汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时,后车司机可以采取刹车措施,使汽车在安全距离内停下而不与前车相碰。通常情况下,人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1s。当汽车在晴天干燥沥青路面上以108km/h的速度匀速行驶时,安全距离为120m。设雨天时汽车轮胎与沥青地面间的动摩擦因数为晴天时的若要求安全距离仍为120m,则汽车在雨天沥青路面上安全行驶的最大速度为多大?

解析:晴天时,汽车在刹车过程中的初速度v0=108km/h=30m/s。在反应时间内汽车做匀速直线运动,位移x1=v0t,则汽车在减速过程中产生的位移因为安全距离为120m,所以x1+x2=120m。联立以上三式解得晴天时汽车刹车后的加速度a1=5m/s2。因为汽车刹车后的加速度a=μg,雨天时汽车轮胎与沥青地面间的动摩擦因数为晴天时的所以雨天时汽车刹车后的加速度同理得x3=,联立以上三式解得汽车在雨天沥青路面上安全行驶的最大速度v1=20m/s=72km/h。

点评:本题是匀速直线运动和匀减速直线运动两个过程的组合,根据两段运动过程的位移之和为120m这个位移关联点,选两段运动的共同量(匀速直线运动的速度即匀减速直线运动的初速度)为未知量建立方程组,即可使问题得以求解。

例3一个小球从斜面顶端无初速度地下滑,接着又在水平面上做匀减速直线运动,直到停止。小球一共运动了10s,斜面长度为4m,小球在水平面上运动的距离为6m。求小球在运动过程中的最大速度,以及小球在斜面和水平面上运动时的加速度大小。

解析:设小球在斜面上的加速度大小为a1,运动时间为t1,则小球在斜面上产生的位移设小球在水平面上的加速度大小为a2,运动时间为t2,减速到0的过程可以看成反向的加速过程,则小球在水平面上产生的位移由小球在斜面上做加速运动和在水平面上做匀减速运动的最大速度相等得vmax=a1t1=a2t2,t1+t2=10s。联立以上各式解得vmax=2m/s,a1=0.5m/s2,a2=0.33m/s2。

点评:本题是匀加速直线运动和匀减速直线运动两个过程的组合,根据两段运动的总时间为10s这个时间关联点,选两段运动的共同量(匀加速直线运动的末速度vmax即匀减速直线运动的初速度)为未知量建立方程组,即可使问题得以求解。

例4一物体从静止开始做匀加速直线运动,在第3s内产生的位移为3m,求物体在前3s内的位移。

解析:设物体的加速度为a,则前2s内的位移前3s内的位移第3s内的位移x=x2-x1=3m,联立以上三式解得a=1.2m/s2,x2=5.4m。

点评:本题是匀变速直线运动过程的两个阶段,根据第3s内的位移为前3s内的位移与前2s内的位移之差这一位移关联点,选两个阶段的加速度这一共同量为未知量建立方程组,即可使问题得以求解。

三、等时间或等位移类——连等位移或时间,运用比例最方便

如果研究的是初速度为零的匀变速直线运动,考查的是连续相等时间内的位移、速度关系或连续相等位移上的速度、时间关系时,运用比例式求解最为简便,因此这类问题的解法可以归纳为“连等位移或时间,运用比例最方便”。因为匀减速到零的直线运动可以等效为从零开始的匀加速直线运动,所以此方法还适用于匀减速到零的直线运动。

例5一观察者站在一列火车第一节车厢前端的轨道外,火车从静止开始做匀加速直线运动,第一节车厢驶过他身边所用的时间为2s。设每节车厢等长(车厢之间的距离不计)。则:

(1)前16节车厢驶过观察者身边需要多长时间?

(2)从火车开始运动计时,10s内有几节车厢驶过观察者身边?

解析:(1)因为每节车厢的长度相等,所以可以看成求解的是连续相等位移问题,根据产生连续相等位移所需时间之比t1∶t16=1∶ 16,解得t16=8s。

(2)设每节车厢的长度为L,10s为火车运动的前5个2s,根据连续相等时间内的位移之比x1∶x5=1∶52=L∶nL,解得n=25节。

点评:本题中(1)问考查的是连续相等位移的时间关系,(2)问考查的是连续相等时间的位移关系,运用比例式可以迅速得解。

四、连续相等时间内的位移类——等时位移何最灵,逐差公式最可行

如果研究的是连续相等时间内的位移问题,例如打点计时器打出的纸带、频闪照片等,运用逐差公式求解最为简便,因此这类问题的解法可以归纳为“等时位移何最灵,逐差公式最可行”。2017年高考全国理综Ⅰ卷的第22题考查的就是运用逐差公式求解加速度这个知识点。

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例6某同学利用打点计时器研究小车的匀变速直线运动,他在实验时将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上,得到一条纸带,打出的部分计数点如图1所示(每相邻两个计数点间还有4个点图中未画出),s1=3.59cm,s2=4.41cm,s3=5.19cm,s4=5.97cm,s5=6.78cm,s6=7.64cm,则小车的加速度a=____m/s2。(要求充分利用测量的数据,结果保留两位有效数字)

图1

解析:两相邻计数点的时间间隔T=0.1s,由逐差法得小车的加速度a=

点评:本题是根据连续相等时间内的位移求解加速度的问题,应用逐差法可以直接得解。

五、定性分析类——定性分析有捷径,运用图像最管用

在运动学问题中,当遇到定性分析时间的大小、速度的大小等问题时,运用图像法可以很直观地判定两个物理量的大小,因此这类问题的解法可以归纳为“定性分析有捷径,运用图像最管用”。

例7甲、乙、丙三辆车沿直线行驶同时经过某一路标时的速度相等,此后甲车先匀加速再匀减速,乙车一直匀速,丙车先匀减速再匀加速,结果它们到达下一个路标时的速度又一次相同,试分析它们通过下一个路标的先后次序。

解析:此题已知条件模糊难以用公式进行计算,若能依题意画出三辆车的速度—时间图像,则结论一看便知。作出三辆车的速度—时间图像如图2所示,则t甲＜t乙＜t丙,即三辆车通过下一路标的先后次序为甲、乙、丙。

点评:先将三辆车的v-t图像在同一张图标纸中画出来,再比较三辆车的运动时间,即可判断三辆车通过下一路标的先后次序。

图2

六、追及或相遇类——追及相遇莫畏难,两个关系一条件

求解追及或相遇类问题时,一定要抓住两个“关系”一个“条件”。两个“关系”是指两物体的时间和位移之间的数量关系,一个“条件”是指两物体速度相等这个条件,它往往是物体追上、追不上或二者相距最远、相距最近的临界条件。两个“关系”和一个“条件”是分析判断此类问题的突破口,因此这类问题的解法可以归纳为“追及相遇莫畏难,两个关系一条件”。

例8一辆值勤的警车停在平直公路边,当警员发现从他旁边以v=8m/s的速度匀速驶过的货车有违章行为时,警车立即启动,并以加速度a=2m/s2做匀加速直线运动追赶违章的货车,试问:

(1)警车启动后要经过多长的时间才能追上违章的货车?

(2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离是多少?

解析:(1)设警车启动后经过时间t追上违章的货车,则警车的位移,货车的位移x2=vt,当警车追上货车时,两车的位移相等,即x1=x2,解得t=8s。

(2)刚开始货车的速度大于警车的速度,故两车间的距离越来越大,当两车速度相等时,两车间的距离最大。设警车启动后经过时间t'两车的速度相等,则经过时间t',警车的位移货车的位移x2'=vt'=32m。因此两车间的最大距离smax=x2'-x1'=16m。

点评:本题(1)问需要根据警车追上货车时,两车的位移相等这个位移关系列方程求解,(2)问需要根据两车速度相等时,两车间的距离最大进行求解。

七、刹车类——刹车问题有陷阱,关键是看何时停

刹车类问题的易错点在于不考虑刹车运动的实际情况,而盲目地套用位移公式x=和速度公式v=v0+at求解。解答这类问题的关键是先计算出停车所用的时间(临界时间),再用所给的时间与这个临界时间进行比较,判定此时车辆处于什么状态。因此这类问题的解法可以归纳为“刹车问题有陷阱,关键是看何时停”。

例9飞机着陆做匀减速直线运动时可以获得a=6m/s2的加速度,飞机着陆时的初速度v0=60m/s,分别求飞机着陆后6s和12s内的位移。

解析:设飞机停下来所需的时间为t0,根据运动学公式得因为6s＜t0,所以6s末飞机还没停止运动,产生的位移因为12s＞t0,所以12s末飞机已经停止运动,产生的位移

点评:本题是刹车类问题,需要先求出飞机停止的临界时间,再判定在所给的时间内飞机是停止了还是没有停止,然后选用相应的公式求解。

八、平均速度类——平均速度是个宝,用它妙处无限好

如果在匀变速直线运动中给出了位移和时间,那么就可以求出平均速度,这个平均速度又是这段位移中间时刻的瞬时速度,还等于初、末瞬时速度的平均值。根据平均速度求解位移、时间等其他物理量时,计算过程更简便。因此这类问题的解法可以归纳为“平均速度是个宝,用它妙处无限好”。2017年高考全国理综Ⅰ卷的第25题和Ⅲ卷的第25题都可以利用平均速度求解位移。

例10一质点做匀变速直线运动,它在两段连续的4s时间内通过的位移分别是24m和64m,求质点的初速度大小和加速度大小。

解析:质点在前4s内的平均速度即第2s的瞬时速度,则6m/s。质点在前8s内的平均速度即第4s的瞬时速度,则11m/s。又有第2s的瞬时速度,解得质点的初速度v0=2v1-v2=1m/s,质点的加速度

点评:本题就是根据平均速度是位移中间时刻的瞬时速度这个规律求解的,这种解法比用运动学位移公式列方程组求解初速度和加速度简便得多。

(责任编辑 张 巧)