展开的魅力

■湖南省永州市第四中学 何小卫

展开的魅力

■湖南省永州市第四中学 何小卫

在高中物理的学习过程中,同学们在获取知识的同时,还要加强对科学思维方法的训练。展开的思维方法是物理学习中一种常见的方法,灵活运用这种思维方法来解题,有时会获得意想不到的效果。

一、直线运动的展开

例1一位电脑爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏。如图1所示,在一个边长为a的大立方体木箱的一个顶角G上,老鼠从猫的爪间逃出,选择了一条沿着木箱棱边的最短路线,奔向洞口,洞口处在木箱的另一顶角A处。若老鼠在奔跑中保持速度大小v不变,并不重复跑过任一条棱边及不再回到G点,聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口。设猫和老鼠同时从G点出发,则猫奔跑的速度为多大时,猫恰好在洞口再次捉住老鼠?

图1

解析:将木箱的其中两个面展开如图2所示,则老鼠走过的最短路程s=3a(三条棱),猫走过的最短路程s0=猫与老鼠同时抵达洞口A,则解得猫的速度

图2

点评:在求解本题时若将思维局限于猫沿木箱的棱边奔跑就会出错,而将木箱展开,我们就会发现原本很难思考的问题变得轻而易举了。

二、螺旋曲线的展开

例2如图3所示,一个圆柱体的直径为D,其侧面刻有螺距为h的螺旋形凹槽,槽内有一小球。当用外力拉绕在圆柱体侧面的绳子时,小球将沿凹槽滑下。若小球能沿凹槽自由下落,则外力作用下绕在圆柱体侧面的绳子的加速度为( )。

图3

解析:取小球下滑一个螺距的过程为研究对象,将这段螺旋线展开为如图4所示的直角三角形,其中两直角边分别为圆柱体的螺距h和圆柱体截面的周长πD,所以tanα=对小球有对绳子有答案为B。

点评:如果直接思考小球沿螺旋形凹槽下滑,将会无法下手,而采用展开法进行分析,就豁然开朗了。

图4

三、平抛运动的展开

例3如图5所示,沿水平方向向一堵墙掷出一个弹性小球,抛出点O到水平面的高度为h,到墙壁的水平距离为s,小球与墙壁的碰撞时间极短,且碰撞时小球的动能不改变,碰后小球落在距墙壁2s的水平地面上,求小球从掷出点到落地点运动的时间及落地时的速度大小。

图5

解析:小球和墙壁相碰的时间极短且无动能损失,则小球反弹后的速度大小不变且与水平方向间的夹角也不变,因此可以利用运动的对称性将小球的运动轨迹展开如图6所示。小球的水平总位移为3s,运动时间t=设小球落地时的速度为vt,则由动能定理得

图6

点评:因为碰撞中无能量损失,所以小球的反弹速度与原速度关于墙对称,这样就可以将小球的运动轨迹展开用全程的平抛运动来求解了。

四、斜抛运动的展开

例4如图7所示,在水平面上有两个竖直光滑墙壁A和B,其间距为d,一个小球以初速度v0从两墙壁之间的O点斜向上抛出,小球与墙壁A和B各发生一次碰撞后正好落回抛出点O,求小球的抛射角θ(结果可以用三角函数表示)。

解析:将小球在两墙壁之间的运动轨迹展开,如图8所示,则该运动是一完整的斜抛运动。小球的水平位移x=v0tcosθ,竖直位移小球落地时有x=2d,y=0,又有v0sinθ=gt,解得

图7

图8

点评:利用展开的思想将小球的运动轨迹转变成一完整的斜抛运动的轨迹后,可以采用斜抛的解题思路,也可以将斜抛运动转化成对称的两个平抛运动问题来处理。

五、电场和磁场中运动的展开

例5回旋加速器是用于加速带电粒子、使之获得高能量的装量,其核心部分有两个D型金属扁盒,两盒间的窄缝宽度为d,两盒分别与高频交变电源的两极相接,两盒间的电势差大小恒为U,因而两盒间窄缝区域形成电场强度大小不变,方向呈周期性变化的匀强电场。两盒处在匀强磁场中,磁感应强度为B,方向垂直于盒面。设带电粒子的最大回旋半径为Rmax,试求带电粒子在回旋加速器窄缝区域内运动的时间。

解析:设粒子被加速后获得的最大速率为vmax,粒子的电荷量为q,则由牛顿第二定律和圆周运动规律得粒子在回旋加速器的盒内、盒间交替运动,且粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动,在盒间窄缝区域内电场中做匀加速直线运动。粒子在回旋加速器中运动的速率—时间图像如图9甲所示,其中 Δt1、Δt2、Δt3…为粒子在两盒间各段匀加速直线运动的时间。将图9甲中与Δt1、Δt2、Δt3…对应的运动“拆”出来,将速率—时间图像进行“合”处理,即“展开”如图9乙所示。通过优化组合可以等效模拟出一初速度为零、末速度为vmax的匀加速直线运动,该等效匀加速直线运动的时间与粒子在盒间窄缝区域内的运动时间相等。设该等效匀加速直线运动的时间为t,则解得

图9

点评:本题要求解出粒子在盒间窄缝内不连贯运动时间的总和,因此需要先将粒子在盒间窄缝内的运动“展开”构建出一种有规律的、直观的运动形式——匀加速直线运动,使所求问题得以简化。

(责任编辑 张 巧)