例析如何再现动点的“隐路径”
2017-11-23鲁仁伟
鲁仁伟
(江苏省扬州市田家炳实验中学，江苏 扬州 225001)
例析如何再现动点的“隐路径”
鲁仁伟
(江苏省扬州市田家炳实验中学，江苏 扬州 225001)
动点隐路径问题是中考的难点之一，其路径是‘隐形’的，需要再现它的轨迹，进而才能有的放矢地求动点路经长.
动点；路径；数学思维
本学年，笔者执教本校的初三毕业班，从而对各地方的压轴题进行了归类分析.其中，引起笔者感兴趣的就是压轴题热门题型之一动点问题，尤其是求动点路径长的问题更是常见.与其它求“显性”线段长不同的是，动点的路径是“隐形”的，需要考生通过分析再现它的轨迹，进而才能有的放矢地求动点路经长.
一、分类再现“隐路径”
1.路径线段型
例1 已知抛物线y=-0.25x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC,D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF．若S△ABC=16,AC=BC，
(1)求抛物线的解析式；(2)判断线段BF和AB的位置关系，并说明理由；
(3)当D点沿x轴正方向由点O移动到点B时，点E也随着运动，求点E所走过路线长.
解(1)(2)解答略.
(3)分析：如图2，先画出E的起点在B处，再画出E的终点在E′处，结合过程点，可以观察出三点在同一条直线上，从而猜想点E的运动轨迹是线段EE′ ,再利用题目的条件求出所求线段长度即可．
点评本题第3问重点是通过动点的起始点、过程点和终止点，将其隐路径显现出来，观察出是一条线段，再结合正方形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识点，求出该线段的长度，从而解决动点的路径问题，该题综合性强，有效地考查出学生数形结合的数学思想方法和其思维能力.
2.路径圆弧形
例2 已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点，P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D．
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值；
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．
解(1)(2)解答略.
(3)分析:①分析起点：当点P与原点O重合时，点P才开始运动，利用抛物线求出点E的坐标，依据点M坐标，得出∠OEH=∠HOE=45°，∠COH=45°.所以依据正方形的性质得到，此时点O、H、B三点共线，这就是动点H的起点.②分析终点：当点P接近点C时，点E横坐标接近于无穷，此时点H几乎与点C重合，这是动点H的终点.③当点P从点O向点C运动时，而OH的长度也发生变化，但OH⊥ME,从而∠OHM=90°.根据90°的圆周角所对的弦是直径，故H在以OM为直径的圆上，故其所经过的路径是圆弧.
思路：因为P(0，m)是线段OC上的一动点且点C除外，所以m大于等于0小于2 .
点评该题的动点路径的分析是难于例1的线段型的，主要原因是图形复杂于例1，但是若抓住路径问题的本质，找出起点、过程点和终点，不难发现路径是圆弧型，结合圆的知识和题目条件确定圆弧半径和圆心.
二、再现“隐路径”的方法与总结
关于动点路径问题，各地方中考题目中，该问题是一个热点问题，也是常考问题.教师在中考复习时，要总结出该类问题的方法，让学生有方向的思考.在初中数学动点轨迹的问题中，一般有两种情况：线段或圆弧．解决此问题的策略，化动为静，由特殊情形过渡到一般情形，要抓住动点在动态变化中暂时静止的某一瞬间即过程点，将这些点锁定在某一位置上，通过起点、过程点和终点三点确定，问题的实质就容易显现出来了，从而判断出其“隐路径”，然后再求其路径的具体值．
具体步骤一般可以分五步：一标，标出动点的起点、过程点和终点；二察，观察三点是否在一条直线上；三定，在一条直线上轨迹就是线段，不在一条直线上轨迹就是圆弧；四算，线段型常用勾股定理、垂直平分线和全等相似等知识解决，圆弧型常利用圆、角和三角函数等知识点确定圆心和半径来解决问题．
因此在动点路径类问题的教学中，教师要让学生有自主探究问题的过程，留有余地让学生有思有想，体会动点问题是从几个特殊点入手，通过观察、猜想、验证、证明的过程，探究出该类问题的本质，从中积累经验，从而真正地达到“授之以渔”的目的.
[1]华风.中考压轴题的命题走向“动点型问题”[J].数理化学习：教育理论,2011(11).
[2]张健华.例析“动点的路经长”中考压轴题解题策略看[J].中学数学,2013(16):87-90.
[责任编辑：李克柏]
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1008-0333(2017)29-0002-02
2017-07-01
鲁仁伟(1988.10-)，男，安徽人,硕士，中学二级教师，从事数学与应用数学动力系统.
