函数极值点偏移的判定和应用

尹爱国

(湖南省长沙市明德中学,湖南 长沙 410000)

函数极值点偏移的判定和应用

尹爱国

(湖南省长沙市明德中学,湖南 长沙 410000)

综述函数的极值条件，结合极值点偏移的性质，提出极值点偏移的判定方法.

函数极值点；判定方法；应用

问题引入：(2016·全国卷Ⅰ·理21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(Ⅰ)求实数a范围；

(Ⅱ)设x1、x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2

解析(Ⅰ)答案：a>0.

笔者在多年的教学中发现类似问题在高考压轴题中频频出现，因此对此类问题进行了研究，找出了解决此类问题的一种通法，供大家参考.

一、极值点偏移的判定方法.

设已知函数y=f(x)，在区间x∈D上满足：x=a是函数的唯一极值点，x1,x2∈D,x1≠x2，f(x1)=f(x2)

第一步：判断曲线在D上的开口方向.

类似于抛物线，若曲线f(x)在D上存在唯一极值点，则曲线在D上存在开口方向问题.若x=a为y=f(x)的极小值点，则f(x)在D上的开口向上；若x=a是曲线y=f(x)的极大值点，则y=f(x)在D上的开口向下.

第二步：构造函数F(x)=f(x)-f(2a-x)或F(x)=f(a-x)-f(a+x).运用导数判定x

下面结合上述步骤解决文首提出问题的第二问.

(Ⅱ)解由(Ⅰ)有：a>0,x=1为y=f(x)的唯一极值点，且为极小值点，函数定义域为R，∴f(x)的图象在R上开口向上.构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)=xe2-x+(x-2)ex.

求得F′(x)=(x-1)(ex-e2-x).x=1时，F′(x)=0,x≠1时，F′(x)>0，∴F(x)R上递增.

又F(1)=0，∴x<1时，F(x)

二、极值点偏移的性质

三、例题展示

例(2014·江苏南通二模·20题)设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R),其图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1

(Ⅰ)求a的取值范围;

解析(Ⅰ)定义域为x∈R,f′(x)=ex-a.

当a≤0时，f′(x)>0,f(x)在R上递增，函数不可能有两个极值点.当a>0时,∵当x∈(-∞,lna)时，f′(x)<0,x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.

∴当x=lna时，f(x)min=f(lna)=elna-alna+a=2a-alna.

∵f(x)的图象与x轴有两交点,

∴f(x)min=2a-alna<0,

∴a>e2.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知：a>e2，x=lna为y=f(x)的唯一极值点，且为极小值点. ∴f(x)的图象开口向上.

∴x10,∴0

∴F(x)在(0,+∞)上单调递减，∴F(x)

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]谭琨.多元函数极值的研究与应用[J].安庆师范学院学报，2005.

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

尹爱国，男，中学一级教师，硕士，长沙市骨干教师，从事高中数学教学研究.

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1008-0333(2017)28-0027-02