基于降维算法和等效杆长的可展结构精度分析

祁俊威， 王春洁,2,*， 丁建中

1.北京航空航天大学 机械工程及自动化学院， 北京 100083 2.北京航空航天大学 北京市数字化设计与制造重点实验室， 北京 100083

基于降维算法和等效杆长的可展结构精度分析

祁俊威1， 王春洁1,2,*， 丁建中1

1.北京航空航天大学 机械工程及自动化学院， 北京 100083 2.北京航空航天大学 北京市数字化设计与制造重点实验室， 北京 100083

考虑铰链间隙和杆件尺寸误差的不确定性并通过概率统计方法对其进行研究，提出了一种基于单变量降维算法(UDRM)和等效杆长模型的可展结构精度分析方法。利用UDRM将可展结构的精度性能函数解耦为多个杆件尺寸误差的独立作用形式，建立精度分析模型。引入等效杆长模型，等效杆件替代原杆件进行精度计算。将铰链间隙与原始杆件尺寸误差合并到等效杆件的尺寸误差中，同时证明了等效杆长尺寸误差近似服从正态分布。以某卫星可展开天线为算例，结合高斯求积公式求解展开状态下精度指标的分布期望和方差。通过与蒙特卡罗模拟(MCS)和一次二阶矩(FOSM)法计算结果的对比验证了本文精度分析方法的正确性和高效性。

铰链间隙； 尺寸误差； 可展开结构； 精度分析； 降维算法； 等效杆长

可展开结构在空间卫星中应用越来越广泛，对其工作构型精度的要求越来越高。空间可展开结构通常具有尺寸大等特点，其在轨工作精度和机械误差紧密相关。可展开结构多设计为铰接多闭环连杆机构，其机械误差主要来源于构件间运动副间隙以及构件自身尺寸误差[1-4]。这些误差不仅使可展开结构实际工作状态与理论设计状态存在一定偏差，严重时还可能造成其在轨工作失效。

铰链间隙和杆件尺寸误差使得可展开结构工作阶段呈现出结构不确定性[5-6]，衡量不确定性的大小可以借助随机变量期望和方差的概念。现今已有多种求解功能函数响应期望和方差的方法，如一次二阶矩(First Order Second Moment, FOSM)法[7-8]、蒙特卡罗模拟(Monte Carlo Simulation, MCS)[9-10]、响应面法(Response Surface Method, RSM)[11-12]等。上述方法中FOSM法需已知功能函数的梯度信息，但当功能函数为隐式或形式复杂时梯度运算困难；MCS为了获得较高精度的结果所需计算量巨大，耗时长；RSM面对非线性较高的工程问题需要用到高阶多项式进行拟合，但多项式的拟合范围有限从而影响到结果精度。Rahman和Xu提出了一种单变量降维算法(Univariate Dimension Reduction Method, UDRM)[13]，该方法能够避免对功能函数梯度的求解，可极大降低计算工作量，在结构可靠度应用方面取得了很好的效果[14-16]。

本文提出了单变量降维和等效杆长模型的可展开结构精度分析方法。将可展开结构中的杆件尺寸误差和铰链间隙视作随机变量，建立可展开结构精度分析的通用模型。以某可展开天线为研究对象，结合高斯求积公式求解精度指标的期望和方差。最后通过与蒙特卡罗模拟和一次二阶矩法对比验证本文精度分析方法的正确性和高效性。

1 单变量降维算法

假设n维向量S=[s1s2…sn]T为系统输入变量，g(S)为由S决定的系统输出。则g(S)降维展开表达式为

g12…n(s1,s2,…,sn)

(1)

式中：g0为对g(S)产生的零阶影响；gi(si)为变量si单独对g(S)产生的一阶影响；gi1i2(si1,si2)为变量si1和si2联合对g(S)产生的二阶影响；gi1i2…ik(si1,si2,…,sik)为变量si1,si2,…,sik共同对g(S)产生的k阶影响；g12…n(s1,s2,…,sn)为所有变量对g(S)产生的影响。

选取随机变量空间中任一参考点S0=[s01s02…s0n]T，并将g(S)在参考点处展开可得

(2)

式中：

(3)

可求得输出响应的期望和方差为

(4)

式中：E(·)为期望算子；D(·)为方差算子；

(5)

其中：ρ为随机变量的概率密度函数。

当g为隐式函数或表达式复杂时，若直接对式(5)进行积分运算，计算十分困难。因此本文利用高斯求积公式对误差函数的期望和方差进行求解，式(5)可转化为

(6)

2 等效杆长模型分析

当可展开结构构型变得复杂时，杆件和铰链数目增多，单变量降维方法得到的展开项也随之增多，直接求解计算量增大。为了减少变量数目、降低计算量，引入等效杆长模型。等效杆件由一根杆件和其所连接的一个或两个铰链间隙组成，将其作为一个整体计算等效杆长，再将等效杆长替代原始杆长进行精度指标响应的求解，简化计算过程。

2.1 等效杆件尺寸确定

无质量虚拟连杆法是分析含间隙机构运动特性的主要手段之一[17]。将间隙用无质量的连杆代替，分析时只需确定虚拟杆的长度和方位，来表示间隙矢量的大小和方向即可。机构中由铰链连接的两个构件，如图1所示，销轴外径为ra，衬套内径为rb，可以得到间隙圆半径大小为rc=rb-ra。

连杆两端均有铰链间隙与只有一端有铰链间隙两种情况下的分析方法相同。下面以连杆两端均含有铰链间隙为例，等效杆长示意图如图2所示，其计算方法为[18]

(7)

式中：li为原始杆长；Li为等效杆长；x1i、y1i和x2i、y2i分别为以衬套中心为局部坐标的两个销轴的圆心坐标值，销轴圆心在衬套内位置随机分布，应满足

(8)

图1 含间隙铰链模型Fig.1 Joint clearance model

图2 等效杆长模型Fig.2 Effective link length model

2.2 等效杆长误差分析

现对等效杆长模型进行误差分析，首先在各参数名义值处进行Taylor级数二阶展开，可得

(Δy2-Δy1)2]+O

(9)

式中：F=(x2-x1+l)(Δx2-Δx1+Δl)+(y2-y1)(Δy2-Δy1)；Δx1、Δy1、Δx2、Δy2和Δl分别为x1、y1、x2、y2和l的误差值；O为高阶微小量，计算中可以忽略；(1/L)3≪(1/L)，计算中可以被忽略；第3项为高次项，计算时也可以被忽略。因此在计算等效杆长误差ΔL时展开至一阶项就能够保证计算精度。

间隙尺寸x1、y1和x2、y2可看做参数名义值均为0的随机变量，则L的误差可以化简为

(10)

因此易得L误差的期望与方差为

(11)

通常假设构件尺寸的加工误差服从正态分布，则其尺寸的期望和方差有

(12)

即

li～N(μli,σli)i=1,2,…,n

在空间无自重无外力的自由漂浮状态下，可以假设销轴中心在间隙圆内均匀分布，可得销轴圆心坐标的概率密度函数为[6]

ρ(xi)=

(13)

式中：rci为第i个铰链的间隙圆半径；xi为间隙沿x轴的分量。yi与xi具有相同形式的概率密度函数，由此计算可得xi和yi的期望和方差为

(14)

2.3 等效杆长误差分布确定

Δx1、Δx2和Δl为相互独立的误差变量，则ΔL的概率密度函数可通过如下卷积的方式进行计算：

(15)

式中：*为卷积符号。

进而可以得到等效杆长误差的卷积形式为

ρΔx1,Δx2,Δl(ΔL)=ρΔx1*ρΔx2*ρΔl(ΔL)

(16)

将式(13)代入式(16)，发现间隙尺寸部分的卷积是一个瑕点积分的形式，即使采用数值积分也难以进行求解，导致等效杆长误差ΔL概率密度函数的精确表达式难以求得。因此本节采用Edgeworth级数对其概率密度函数进行估计[19-20]。

概率密度函数Edgeworth级数展开式定义为

(17)

式中：φ(·)为标准正态分布概率密度函数；ΔL*为经标准正态化变换的等效杆长误差，即ΔL*=(ΔL-μΔL)/σΔL；κn为ΔL第n阶中心距，其表达式为

(18)

(19)

通常利用随机变量前4阶矩信息进行拟合，能够得到较好的近似结果[21-22]。计算可得ΔL的概率分布Edgeworth级数估计的前4阶展开式为

[(ΔL*)4-6(ΔL*)2+3]

(20)

式中：航天领域大型卫星制造公差一般小于0.05 mm，中小卫星制造公差一般小于0.03 mm，本文取rc为0.2 mm进行分析；ΔL*经标准正态化处理后取值主要落在(-3,3)之间。现对2项取值进行估计

(ΔL*)4-6(ΔL*)2+3=

((ΔL*)2-3)2-6∈[-6,30)

计算可得式(20)中的第2项取值在[-5×10-5,2.5×10-4)之间，要远小于1，在实际应用中可以忽略不计。因此ΔL*的概率密度分布估计可化简为

f(ΔL*)≈φ(ΔL*)

(21)

一组杆件尺寸误差和铰链间隙的分布参数如表1所示。

由图3可知两种方法的结果吻合很好，证明了本节推导方法的正确性，等效杆长的误差服从正态分布，因此在求解误差函数期望和方差时可利用Gauss-Hermite求积公式。等效杆长替代原始杆长和铰链间隙，最终误差函数的期望和方差表示为

(22)

表1杆件尺寸误差和铰链间隙分布参数

Table1Distributionparametersoflinklengtherrorandjointclearance

VariableDistributionformExpectation/mmVariance/mm2Jointclearance(0．1mm)Uniformincircle00．0025LengtherrorNormal00．01

图3 MCS和Edgeworth级数推导结果比较 Fig.3 Comparison of results of MSC and Edgeworth series

式中：L为各杆件等效长度组成的向量；μL为等效杆长均值组成的向量。

本文方法的计算流程如图4所示。

图4 精度分析模型计算流程图Fig.4 Flow chart of calculation with precision analysis model

3 算例分析

3.1 天线展开构型

本文以某型号可展开天线为例进行分析。可展开天线由1套可折叠的空间支撑桁架来保证其刚度和精度。天线在轨展开之后由支撑桁架固定在展开工作状态。支撑桁架关于展开方向与天线板垂线方向所构成的平面对称，在进行展开状态精度分析时可简化为平面杆系处理。该天线展开构型如图5所示。

图5 可展开天线的展开构型Fig.5 Deployment state of deployable antenna

以根铰链b1转动中心为坐标原点建立如图5所示的全局坐标系。铰链b1和d1与星体固连，d3和d4均为复合铰链。铰链d2、c1和c2处设置锁定机构，达到180° 时自动锁死。

3.2 指向精度评定指标

引入位置偏差和角度偏差两个指标对天线板展开结束后的指向精度进行量化评判，其原理如图6所示。

取每块天线板框架与支撑桁架连接点作为测量的拟合点，即a1、a2、a3和a4，计算其在引入杆件尺寸误差情况下的坐标值。4个拟合点的横纵坐标组成向量X和Y，即

式中：xai为ai点横坐标值；yai为ai点纵坐标值。

图6中两块天线板理想位置表示为直线P0，两块天线板实际位置通过线性回归算法拟合后表示为直线P1，其方程为

α1x+y+α2=0

(23)

式中：x和y为拟合平面上点的坐标值，α1和α2为平面方程参数，其计算方法为

位置偏差定义为直线P1与坐标轴y的截距，其表达式为

epos=-α2

(24)

角度偏差定义为直线P1与平面P0的夹角，其表达式为

图6 位置偏差及角度偏差测量原理Fig.6 Measurement principles for position and angular errors

eang=arctan(-α1)

(25)

在理想状态下(不考虑铰链间隙和杆件尺寸误差)，位置偏差和角度偏差值为0 mm和0°；在实际状态下(考虑铰链间隙和杆件尺寸误差)，位置偏差和角度偏差会偏离理想值，且偏离越多表示误差越大。

3.3 计算结果及分析

天线各杆件原始尺寸及其误差分布参数如表2 所示。

间隙对锁定铰链的影响较小，且当锁定角度为π时，由间隙导致的锁定角度偏差对等效杆长的影响也十分微小，因此本文在计算指向精度时将锁定铰链连接的两杆视为一个固定构件[6]。按照一定的工艺方法，可假设所有的铰链间隙都具有同样的尺寸，令所有间隙圆半径rc=0.05 mm。通过单变量降维算法和Gauss-Hermite积分可以直接求解精度指标的期望和方差。计算结果如表3 所示。

表2天线杆件参数统计特征

Table2Parametricstatisticalcharacteristicsofantennalinks

LinknameOriginalvalue/mmErrorexpectation/mmErrorvariance/mmld1d3467300．01ld3d4 21000．01la1d3480100．01la2d3197500．01la3d4197500．01la4d4480100．01

表3 天线指向精度计算结果Table 3 Calculation results of antenna pointing precision

从表3可以看出，FOSM法和本文方法与MCS相比位置偏差期望的绝对误差分别为0.18 μm 与0.14 μm，角度偏差期望的绝对误差分别为(1.90×10-5)°与(3×10-8)°；位置偏差方差的相对误差分别为4.84%和0.81%，角度偏差方差的相对误差分别为10.68%和0.17%，在期望估计方面3种方法结果相差不多，但是对方差估计的结果，本文方法与蒙特卡罗法吻合更好，说明了本文精度分析方法的正确性；同时比较3种方法计算所需的迭代次数可以看出，本文方法所需的迭代次数远小于另两种方法，说明了在保证结果精度的前提下该方法具有高效性。

4 结 论

1) 提出了一种基于单变量降维算法和等效杆长模型的可展开结构精度分析方法，该方法无需精度指标函数的梯度信息。

2) 引入等效杆长模型，将铰链间隙和杆件尺寸误差转化到杆件等效杆长误差上，等效杆长作为中间变量与可展结构误差函数建立联系，可减少计算变量数目、降低迭代次数。

3) 以某卫星可展开天线为算例，通过与MCS和FOSM法的计算结果对比，验证了本文方法的正确性与高效性。

4) 本文方法具有流程简单、易于编程、求解速度快等优点，对于可展开结构的精度分析具有普遍适用性，可为后续分析与设计提供依据。

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(责任编辑： 徐晓)

Precision analysis of deployable structures based on dimensionreduction method and effective link length

QIJunwei1,WANGChunjie1,2,*,DINGJianzhong1

1.SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,BeihangUniversity,Beijing100083,China2.BeijingKeyLaboratoryofDigitalDesignandManufacturing,BeihangUniversity,Beijing100083,China

The uncertainties of joint clearances and link length errors are studied by the method of probability and statistics. A precision analysis method for deployable structure is proposed based on Univariate Dimension Reduction Method (UDRM) and effective link length model. Using the UDRM, the precision function for the deployable structure is decoupled into a combination of independent effects of multiple link length errors to establish the precision analysis model for the structure. The effective link length model is applied to replace the original link length for precision calculation. The effective model converts the joint clearances and link length errors into effective link length errors, which are proved to follow normal distributions. An example of deployable antenna is given to calculate the means and variances in the deployable state with the Gauss quadrature based on the error distributions of link lengths and joint clearances. The correctness and effectiveness of the precision analysis method is verified by comparing the results of Monte Carlo Simulation (MCS) and First Order Second Moment (FOSM) method.

joint clearance; length error; deployable structure; precision analysis; dimension reduction method; effective link length

2016-07-06；Revised2016-08-29；Accepted2016-10-26；Publishedonline2016-11-101418

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.1418.006.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(51635002)

2016-07-06；退修日期2016-08-29；录用日期2016-10-26； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-11-101418

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161110.1418.006.html

国家自然科学基金 (51635002)

*

.E-mailwangcj@buaa.edu.cn

祁俊威， 王春洁， 丁建中． 基于降维算法和等效杆长的可展开结构精度分析J． 航空学报,2017,38(6):220590.QIJW,WANGCJ,DINGJZ.PrecisionanalysisofdeployablestructuresbasedondimensionreductionmethodandeffectivelinklengthJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):220590.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0273

V11； TH115

A

1000-6893(2017)06-220590-08

*Correspondingauthor.E-mailwangcj@buaa.edu.cn