对话结构，助力数学概念学习——以《分数的意义》的教学为例

江苏南京市高淳区宝塔小学 吴小辉

对话结构，助力数学概念学习
——以《分数的意义》的教学为例

江苏南京市高淳区宝塔小学 吴小辉

认知的结构观强调学习是学生内部认知结构的形成和重组的过程，有意义的学习过程就是符号代表的新知识与学生认知结构中已有的适当观念建立的非人为的实质联系。教学中，教师一方面应该把握数学知识的核心本质和蕴含的数学思想，另一方面也要充分考虑学生原有的经验，包括生活经验、知识经验、思维方式等，在这两者之间建立对话的桥梁，开展适切的数学活动，使学生经历学习真正发生的过程，准确地掌握数学概念，构建数学知识的整体结构。

一、对话思维结构，转换思维方式

小学生的数学思维容易形成自然结构，这种自然结构是通过感知已有的知识和经验获得相关信息，按照自身的经验将这些信息联系起来所自然形成的一种思维结构。与之相对应的是思维的加工结构，它是完成学习任务的一种应然结构，也就是期望学生所形成的思维结构。这两种思维结构之间的差异往往是学生学习过程中的难点。因此，教师既要了解思维的加工结构，又需要了解学生思维的自然结构，在教学中有意识地让学生经历自然结构与加工结构之间的对比与转换，帮助学生转变思维方式。

【案例描述】

课件展示，依次出示5个苹果。教师边展示，学生边数一数。

师：我们认识物体往往从一个物体开始。但是如果换一个角度，你可能会有不同的发现。

课件展示：

师：如果将5个苹果看成“1”，红色苹果用什么数来表示？

师：同样的5个苹果，观察的角度不同，得到的结果也不同。将1个苹果看成1，一共就有5个苹果；如果将5个苹果组成的一个整体看成1，每个苹果就是这个整体的。

人们对数的认识在不断深化和发展，这一过程从自然数开始，因为只有自然数是自然地存在着的，某种意义上说是看得见、摸得着的。从这一层面来看，自然数就是学生脑中关于数的认识的自然结构。作为分数而言，则来自于人类在生活中再创造的模型，属于一种加工结构。站在学生的已有思维结构分析，他们往往会将自然数的思维方式迁移到分数的学习中，即一个一个地数，先部分后整体，这是固化的数学思维方式。相反地，分数的认识则需要先关注整体，再确定部分。这截然不同的两种思维方式就是学生在学习分数概念时面临的问题。追寻学生认数的过程，其基本起点是从自然数1开始，如何将现在的分数思维方式与原有的自然数思维方式有机融合应该是教师重点考虑的。因此，教学中以合适的载体帮助学生切实体会到两种不同思维方式的存在，对学生分数概念的学习非常重要。

二、对话经验结构，明晰本质属性

任何知识的学习和理解都要充分考虑学生原有的学习经验，以学生已有的相关知识经验为基础，通过深层次的思维活动，对原有经验做出相应的调整、改造和整合，从而准确理解和建构新的知识。

【案例描述】

师：用分数表示下列图形中的涂色部分。

学生汇报每幅图分别用什么分数表示，是怎样想的。

师：比一比，根据你们的经验，这几幅图可以怎样进行分类？

在师生交流的基础上明确，1个物体、1个图形、1个计量单位、1个整体等被平均分成4份，其中的1份都可以用来表示。

……

（引入单位“1”的概念）

师：说一说上面每幅图中分别把什么看成单位“1”。

学生在以前的学习中，已经初步认识到可以把一个物体、计量单位、图形等进行平均分从而得到分数，也可以把许多物体组成的一个整体平均分得到分数，但这些经验都是处于零散的分布状态。如果这些分散的经验积聚起来并加以提炼，就会使学生认识到无论被平均分的对象是什么，无论有多大、有多少，都可以用1个单位量来表示，这个单位“1”的出现体现了一种高度概括的数学思想。

单位“1”是一个不定性、不定量的数学概念，单位“1”的理解对学生指认分数概念的影响很大，无法正确认识单位“1”，会让学生分数的学习变得毫无意义。因此在分数的学习时，教师应该激活学生原始的经验结构，在比较中逐步明晰概念本质，促进分数概念的学习。上述案例中，充分利用了与学生学习、生活相关的素材作为教学背景，呈现不同的，在研究中使学生聚焦于不同的素材都能用来表示，都将不同的对象平均分成了四份，涂色部分都是这样的一份，这样学生各自在已有的“”的经验基础上，既提升了对“”更一般的认识，又准确理解了单位“1”的本质。

三、对话表征结构，丰富思维经验

布鲁纳在《教育过程》中明确指出了学科结构论，认为学生学习的重点不应是学科的现成知识，而应是该学科的基本概念、基本原理、基本规律及其相互联系。因此，知识越是基本，就越应该放在复杂的情境中进行检验，以不同的表征形式来检验学生的习得，这样运用知识解决新问题的适应性就越宽广，产生迁移的可能性就越大，有利于培养学生举一反三、触类旁通的能力。

【案例描述】

师：你能在括号里填上合适的分数吗？

师：请你估一估，大概是几分之几？怎样才能得到准确的分数？

根据学生的回答，课件中展示将0到1平均分成6份，第一个括号可用表示。

师：第二个括号可以用什么分数来表示？

师：可不可以用其他分数来表示？

学生思考、交流，认识到还可以将0到1看成平均分成了三份，第二个括号用表示。

……

小学生的数学思维易呈现单维度表征，习惯从一个维度去思考问题，当需要从两个维度甚至多个维度去深入思考时，他们就显得力不从心，无所适从。分数单位是分数中的重要概念，与以往的整数计数单位相比，分数单位更加抽象，这也是本节课学习的难点之一。尽管学生能够说出诸如的分数单位是等，但这并不能说明学生真正理解了分数单位，这仅仅是形式上的认知。如何让学生经历过程，正确地建立分数单位的概念非常重要。案例中的第二个括号既可以用两个（即）表示，又可以用表示，这需要学生从不同的表征来理解数轴上平均分的份数以及相对应的分数单位。这种复杂的情境促使学生直观认识到由于平均分的方法不同，所得到的分数单位也不同，数轴上同样的点有时可以用不同的分数来表示，这对于学生的分数学习来说是一个新的收获。用同样的问题情境，把不同的表征形式联系起来，实现了学生结构化的抽象认识。

四、对话知识结构，实现整体建构

数学课程标准指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系。”学生主动建构内部心理表征的过程，主要包括两方面：一是对新知识的意义的建构，二是对原有经验结构的改造与重组。教学中，教师要充分关注相关知识的比较与联系，打通知识之间的脉络，从数学思想的高度建构知识的整体结构。

【案例描述】

师：刚才我们研究了分数，了解了分数的意义。课件出示：

师：如果把图①中的苹果看作单位“1”，那么图②中苹果的数量分别怎样表示？

课件有序出现图②中的苹果。

师：图③、④和图①相比，又可以怎样表示？

生：第3组苹果是第1组的2倍；第4组苹果是第1组的3倍。

师：比一比，今天研究的分数与以前所学的倍数，它们有什么联系？

……

从数学知识的角度来看，分数与倍数是截然不同、互相对立的两个概念。但是从数学思想的高度来看，两者又是辩证统一的，因为分数和倍数都是把某一种数量确定为一个单位量，再把另一种数量与之进行比较，从这个意义上来说分数与倍数的概念是相通的，只是所得的结果采用了不同的表达方式而已。上述案例中对倍数和分数概念的比较，有助于学生认识到倍数和分数是对立又统一的知识点，从而感受数学的整体性，体会到不同的数学知识可以从相同的角度加以分析，获得更深层次的理解。♪