数形结合思想的教学思考
2017-11-07谢聪奎
谢聪奎
摘 要:《普通高中数学课程标准》明确指出:“加强数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用,引导学生从解题的思想和方法上考虑问题,达到巧妙解题的目的。”巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题,能开阔思维视野,起到事半功倍的效果。鉴于此,针对高中总复习教学中如何更好地运用数形结合思想方法的教学实践进行研究。
关键词:数形结合;合理设计;高中数学教学
所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义又提示了其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙机智地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决。为了让数与形更好地结合,教学中该如何进行设计?
一、常见数形结合思想教学设计
常见数形结合的教学设计为如下六部分:
1.数形结合求解集合问题。例题1:若集合A=x|x2-x<0,B=x|0 2.数形结合求解方程问题。例题2:已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么方程f(x)-lgx=0的实根个数为 个。 3.数形结合求解不等式问题。例题3:已知函数f(x)=x2+1,x≥01,x<0,则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集为 。 4.数形结合求解函数问题。例题4:已知函数f(x)=lgx,0 A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 5.数形结合求解向量问题。例题5:已知■与■均为单位向量,其夹角为?兹,下列四个命题为真命题的是 。 p1:■+■>1?圳?兹∈[0,■);p2:■+■>1?圳?兹∈(■,?仔]; p3:■-■>1?圳?兹∈[0,■);p4:■-■>1?圳?兹∈(■,?仔]. 6.数形结合求解解析几何问题。例题6:若直线y=x+b与曲线y=■有公共点,则b的取值范围是 。 以上设计可以让学生认识到数形结合思想方法运用的广泛性,但从整体上来看,只是罗列出不同模块数形结合思想的运用,彼此之间没有太多的联系,缺乏层次感和升华,学生对数形结合印象不会太深刻。 二、笔者的“数形结合思想”教学设计 例题1.用mina,b表示a、b两个数中的最小值,设f(x)=minx2-2x+2,x+2(x≥0),则f(x)的最小值为 。 先求出函数解析式f(x)=x2-2x+2,0≤x≤3x+2,x>3,再求出最小值,这种解法称为“代数法”。 在同一个平面直角坐标系中作出函数y=x2-2x+2与y=x+2在y轴上及y轴右侧的图象,取两个图象的较低部分,从而得到f(x)的图象,由图象得出函数f(x)的最小值。这种解法称为“数形结合法”。 设计中的例题1有两种解法,通过“代数法”与“数形结合法”的对比,让学生深刻感受数形结合的简洁高效,激发学生学习数学的兴趣。数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更显其优越性,学生更能深刻体会运用数学思想方法所取得成功而带来的震撼与惊喜,坚定运用思想方法研究数学的信心和决心。 例题2.已知函数,f(x)的图象如下图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,下列数值排序正确的是( ) A.0 B.0<■ C.0 D.0 f′(2)可以表示曲线y=f(x)在点A(2,f(2))处的切线l1的斜率k1,f′(4)可以表示曲线y=f(x)在点B(4,f(4))处的切线l2的斜率k2。■=■表示点A(2,f(2))与点B(4,f(4))所在直线l3的斜率k3。 数形结合虽好用,但并非随时都能用,设计例题2让学生知道在研究某些具有几何意义的代数式时,可以通过数形结合来解决问题。在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论,即化为几何问题。 例题3.关于方程3x+x2+2x-1=0,下列说法正确的是( ) A.方程有两个不相等的负实根 B.方程有两个不相等的正實根 C.方程有一个正实根,一个零根 D.方程有一个负实根,一个零根 设计两种不同方案让学生意识到在数学学习过程中,选择合理的方法是解题的关键。 方程3x+x2+2x-1=0可以化为3x-1=-x2-2x,问题转化为函数y=3x-1与y=-x2-2x的图象交点的横坐标的情况;方程3x+x2+2x-1=0可以化为3x=-x2-2x+1,问题转化为函数y=3x与y=-x2-2x+1的图象交点的横坐标的情况。以上两种方案,我们选择第二种方案应该会更合理,因为作出函数y=3x的图象比函数y=3x-1的图象更容易。 设计例题3让学生知道在研究方程实根的个数、实根范围等问题时也可以采用数形结合的方法,其中在方程转化为函数过程中,要注意选择简单熟悉的函数,以便更好地进行数形结合。 例题4.若方程x·lg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= 。 选择函数y=x·lg(x+2)和常数函数y=1,但作出函数y=x·lg(x+2)的图象是有困难的。易知0不是原方程的根,故x≠0,则原方程可化为lg(x+2)=■,我们选择函数f(x)=lg(x+2)与g(x)=■,通过研究它们图象交点横坐标的范围就能解决问题。由f(x)=lg(x+2)与g(x)=■的图象可知,x1∈(-2,-1)。f(1)=lg3,g(1)=1,f(1) 选择熟悉、易作图的两个函数能让数形结合的作用更明显。在例题4作图的过程中,交点(x2,y2)容易出错,因此,作函数图象时尽可能地多描几个点,力求准确,避免因图象不够精确而致错。 设计例题4再次强调优化选择函数的重要性,让学生知道解决数学问题有时候要善于适当调整思考方向和解题方法,数形结合时作图有时候只需一个简单的草图,有时候要作出较精确的图象或图形才能解决问题。 整个教学设计主要从利用数形结合解决函数问题、解决方程根的问题两个方面入手,充分体现数形结合的必要性、优越性;设计特点是由易到难,环环相扣,层层递进,符合学生的认知规律。 数形结合思想纵有千般好,但自觉运用数形结合思想方法非一日之功,是习惯所使然,是历史积淀,是时间积累,因此,要坚持把数学思想方法渗透到平时的教学过程中。 参考文献: [1]蔡上鹤,严文科.魔法数学专题突波[M].北京:长征出版社,2005. [2]王俊杰.高中数学思想方法[M].北京:人民日报出版社,2006. 编辑 张珍珍