新国考背景下向量在解析几何中的应用研究

林庆勇

摘 要：解析几何是高中数学的重点，也是高中数学教学中的难点，而向量是高中学习的重要概念之一，也是近代数学中重要和基本的数学概念之一。在解析的解题中，运用向量，能融数形于一体，使求解的过程变得更加轻松和生动。在高考的试卷上，经常结合解析几何，有着极其丰富的实际背景。

关键词：新国考；向量；解析几何

有了向量的介入，在高中数学中本来可以用几何逻辑和推理来完成的数学题型可以直接运用向量来完成，使问题变得简单，是高中数学学习过程中的一个重点。本文立足高考，对新国考背景下向量在解析几何中的应用进行探讨，以期能够给广大数学教师以帮助。

一、根据新国考制度，分析解析几何中向量的运用

随着新国考制度的不断改进，注重的是学生数形结合的能力、思维能力、学习数学的能力和创新能力。向量在国考中也是比较重要的一种解题方法，在平面几何、立体几何和解析几何中都起到了重要的作用。解析几何在高考题目中是考试的重点和难点，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合。实现平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算[1]。

平面向量在高考中是重要的考查概念，向量的物理背景是矢量，学生以矢量为基础学习平面向量并不困难，但是对于该如何处理向量的问题和向量的应用，则常常感觉到比较茫然，如何解决这一问题，改善学生现在学习平面向量的状况是平面教学的重点。所以在解题的过程中要能够注重知识的产生过程，全面了解向量，才能让学生更好地运用向量解答题目。

二、向量在解析几何中的应用

在数学国考中，向量在解析几何中的應用一般可以分为向量与圆的结合，向量与椭圆的结合以及向量与双曲线的结合。通过与这些图像相结合，考查有关点或线段的运动轨迹。根据高考题中常见的几种类型和向量的解法，则可举例说明平面向量在解析几何过程中是如何进行问题突破的。

1.向量与圆的结合

在2016年的全国高考题目中，也考查了向量与圆的结合，通过向量与圆求点或者线段的轨迹方程。

例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

解析：这道题考查的是直线与圆的位置关系，也考查了学生对圆的一般方程的运用。这样的题目看起来比较复杂，但在解题过程中运用向量，可以将题目转化成比较简单的、直接的解题方法。学生运用到的是方程思想、分析法、圆锥曲线的定义、性质和方程。在第（I）问中，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，再由圆的定义和椭圆的定义，可以得到点E的轨迹方程。在第（II）问中，将直线方程带入椭圆方程中，根据点M（x1，y1），N（x2，y2），求出线段的向量值，运用韦达定理、弦长公式以及向量积公式，再运用圆的弦长公式，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围。这样使复杂的问题更加简单化，提高解题的速度[2]。

运用向量的法则进行求解，思路清晰、简洁明快，充分展现了向量的思想，成为超越传统方法的有效工具。

2.向量与双曲线的结合

2015年全国高考数学卷选择题考查的是向量与双曲线的综合。

例2.已知M（x0，y0）是双曲线C：■-y2=1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点，若■·■<0，则y0的取值范围是（ ）

A.（-■，■） B.（-■，■）

C.（-■，■） D.（-■，■）

题目考查的是平面向量与双曲线的结合以及向量积的运用，考查学生的综合运用能力和数形结合的能力。由题知F1（-■，0），F2（■，0），■-y2=1，所以，■·■=（-■-x0，-y0）·（■-x0，-y0）=x02+y02-3=3 y02-1<0，解得-■

应用向量积解决解析几何中的问题，可以避免讨论、化繁为简，显示了其强大的作用。

3.向量与椭圆的结合

例3.2014年21题考查的是向量与椭圆结合，已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为■

（I）求a，b的值；

（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有■=■+■成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：在第一问中运用椭圆方程的离心率和点距离公式可以求出a，b的值；在第二问中，运用假设法，假设存在点P，然后运用向量的加法公式进行验证，运用椭圆和直线的联合进行计算，则可以进行验证。这种方法可以使学生从迷茫中找到问题的解决方法。

在解析几何中分情况进行讨论，则可以让学生的思路变得更加清晰，也成为传统解析几何中比较有效的工具和方法[3]。

向量在解析结合中的应用也可以分为楔入（向量楔入平面几何）、载体（以向量为背景，实际考查解析几何）、变异（引入向量方法求解）、融合（向量与解析几何无缝链接问题）等。在上面的例子中，最主要的是融合、变异和载体的类型，这些类型在数学中的运用，使抽象的问题更直接化，有利于培养学生的数学学习能力和逻辑思维。

三、拓展学生的思维，让学生学会应用

通过对上述题目的解答和分析，则会发现，向量在高考中运用除了考查学生对向量的基础知识和基础运算之外，还要考查学生对向量和椭圆、双曲线的结合，向量和空间几何的结合，法向量的运用。教师要帮助学生总结有关的思路和解法，帮助学生构建有关向量的知识体系。

四、对向量在解析几何中的突破策略

对于平面向量在高考题目中的应用，教师要能立足于高考，回归课本，夯实学生的基础知识、概念以及相关的计算，培养学生的数形结合等数学能力，提高学生的综合能力，让学生更好地掌握向量，从而提高学生的数学成绩。

解析几何是一门比较典型的数形结合的数学分支，在高中数学的教学中也起着很重要的作用，在解析几何的解题过程中引入向量，则可以简化解析几何繁琐的计算过程，也可以简化解析几何中比较抽象的问题，实现了数形之间的有效转化，有效地拓宽了学生的视野和思维。向量在解析几何中的应用，也为解决解析几何中的问题拓展了途径，从而提高学生的高考数学成绩。

参考文献：

[1]王玉光，李亚男.自由向量在解析几何中的应用[J].高师理科学刊，2016（11）：27.

[2]贾芬香.平面向量在解析几何中的应用：高三复习课教学案例[J].科技视界，2012（31）：167.

[3]王广志.向量在三角、解析几何、复数中的应用[J].宿州师专学报，2000（3）：67-69.

编辑 赵飞飞