找联系 抓本质 结构化

冷满红

怎样让学习像呼吸一样自然？融合对于“教什么”和“怎么教”的讨论，笔者尝试从数学本质的挖掘出发，对“2、5、3的倍数的特征”进行教学重构，以求实现突破。

一、与余数的关系——开创教学新视角

关于倍数的定义，人教版教材的描述如下：“在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数。”从以上描述可得，有没有余数，是判断两个数是否存在倍数关系的关键。判断两个数是否存在倍数关系的过程，实际上就是在整数除法中寻找余数的过程。据此，我们可以将2、5、3的倍数特征进行重新解读。

先来看看5的倍数判断的过程。假设要判断一个三位数abc是不是5的倍数，详细过程应是：a在百位上，代表的大小是（a×100），100是5的倍数，（a×100）也是5的倍数，即（a×100）除以5没有余数。b在十位上，代表的大小是（b×10），10是5的倍数，（b×10）也是5的倍数，即（b×10）除以5也没有余数。如此，产生余数的唯一可能来源就是个位。因此，只要看个位上的数除以5有没有余数，就可以判断这个数是不是5的倍数。以此类推，任意一个多位数，除以5有没有余数，都取决于个位上的数。所以概括一下，判断一个数是不是5的倍数，只需要看个位是不是5的倍数。2的倍数特征的数学本质与5的倍数特征相同，不再赘述。

那么3的倍数特征呢？在一些课堂上，教师引导学生在理解3的倍数特征时这样思考：同样是三位数abc，1个百除以3，余数是1，所以a个百除以3，余数可以看成是a；1个十除以3，余数是1，所以b个十除以3，余数可以看成是b；1除以3，余数是1，所以c个1除以3，余数可以看成是c。这样三位数abc除以3的余数就可以看成是（a+b+c），再用这个“余数”之和除以3，根据最后是否有余数，就可以判断这个数是不是3的倍数了。这样做，同样是从寻找余数出发来判断两个数是否存在倍数关系的。

但是，需要指出的是，“a个百除以3，余数是a”，结论有些牵强附会。任何一个数除以3，在整数范围内，余数只能是1或者2。当这里的a小于3时，“a个百除以3，余数是a”是符合规律的。但是当a等于或大于3时，就有矛盾了。

从上面的分析可以看出，对于2、5、3的倍数特征的探索与理解，如果从寻找余数开始探究，无疑给学生留下了探索的空间。这样的探索是从数学的内涵出发，从数学的本质出发，这样的探索基于学生已有的知识经验，经历这样的探索，对于学生理解2、5、3的倍数特征有着重要的意义。

二、与位值的关系——探索教学新思路

在上面的分析中，2、5、3的倍数特征与位值有着密切的联系。但是教材的“你知道吗”中的介绍却忽略了这一点。在教材的介绍中，虽然解释了问题，解释的过程卻因为数字的不同而呈现了不同的方法，显得零碎化与特殊化。是否可以借助于位值，将方法统一化、简单化呢？

对于一个任意的整数，除了个位的其他数位，因为对应的位值都含有因数10，而10是5的倍数，所以判断一个数是不是2、5的倍数，只需要看个位。3的倍数在结合位值制找余数的过程中，却面临着与3的倍数特征不一致的情况。前文所描述的解释方法，可行却不严谨。那么有没有更好的教学思路？

我们将1～9在不同数位上的数值除以3的余数情况进行列举，可以得出同一个数字，无论在哪个数位上，它所代表的数值除以3后的余数都是相同的。并且，我们可以将各种情况进行分类。

一类：数字是3的倍数，那么无论这个数字在哪个数位，它表示的数值除以3都没有余数。这样的数字有0、3、6、9。二类：数字比3的倍数多1。这样的数字有1、4、7，这些数字无论在哪个数位，它表示的数值除以3后，余数都是1。三类：数字比3的倍数多2。这样的数字有2、5、8。这些数字无论在哪个数位，它表示的数值除以3后，余数都是2。

如此一来，对于一个数，例如519，我们可以得知：数字5除以3对应的余数是2，数字1对应的余数是1，数字9对应的是“没有余数”。我们将这些余数相加：2+1=3，再继续除以3，没有余数，我们就可以判定519是3的倍数。

刚才的判断过程，可以分为三个步骤：1. 对照数位找余数；2. 余数求和；3. 判断：如果余数的和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。应用这样的规律，可以判断任何一个整数是不是3的倍数。

如此，这条规律与教材上呈现的3的倍数特征殊途同归，操作上只是多了一个找余数的过程。如再通过以“使用方便”为导向的优化，很容易与教材中的结论接轨。

综上所述，对于2、5、3的倍数特征，我们可以根据位值按照数位来寻找余数，从而探索得到它们的倍数特征。学生经历这样的探索过程，既明白了知识的数学本质，又不会形成知识碎片，避免零碎化和特殊化的方法带给学生学习上的障碍。

三、与结构的关系——延展教学价值

如前所述的教学是否有更多的价值呢？我们需要将它放到更大的背景下来思考，将这种方法进行迁移应用，以追求更高的教学效益。

例如，对4的倍数特征的探究：因为100是4的倍数，那么对于一个数，判断它是不是4的倍数，只需看后两位（十位和个位）表示的数是不是4的倍数就可以了。因为100还是25的倍数，所以25的倍数特征也可以用同样的方法来探究。

9的倍数特征亦是如此。不管哪一个数位上数字所代表的数，除以9后，余数都是对应的数字（9本身除外）。最后只需将这些余数（也就是这个数各个数位上的数字）相加，再除以9就可以判断这个数是不是9的倍数了。

由此，前面探索的2、5、3倍数特征的探究方法，可以推广应用到更多数的倍数特征的探究中去，从而让教学更具价值。

（作者单位：安徽省太湖县新城第二小学 本专辑责任编辑：王彬）endprint