几何寻道 图形模型最相宜——由一道向量竞赛试题引出的思考

● (开化中学，浙江 开化 324300)

2017-07-09

李承法(1969-)，男，浙江开化人，中学高级教师．研究方向数学教育．

几何寻道图形模型最相宜
——由一道向量竞赛试题引出的思考

●李承法
(开化中学，浙江 开化 324300)

近年来，含有条件c=λa+μb(其中λ，μ∈R,λ+μ=1)的这类平面向量问题在高考卷、竞赛卷以及高考模拟卷中屡屡出现．这类试题常考常新，造成很多学生对此类试题无法应对.文章提出解决此类试题的关键在于运用向量“数”和“形”的属性，构造三点共线图形模型，运用数形结合思想可以有效求解．

平面向量；三点共线；数形结合

1 一个常用结论和图形模型

图1

2 问题的引出和解析

例1已知平面向量a，b，c，满足|a|=1，|b|=2，|c|=3(其中0<λ<1),若b·c=0，则|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合为______．

(2017年浙江省高中数学竞赛试题第9题)

解法1将向量b,c的起点平移至原点O，再分别以b,c为x,y轴正向建立平面直角坐标系，则向量b=(2,0)，c=(0,3)，向量λb+(1-λ)c对应的点坐标为P(2λ,3(1-λ))，从而

点A在单位圆(即⊙O)上运动，从而当AP⊥BC时(如图2)，|a-λb-(1-λ)c|取到最小值

图2 图3

而0<λ<1，点P与点C不重合,于是

图4

2.1 同类试题的解决

( )

A．01

C.m+n<-1 D.-1

(2014年浙江省高一数学竞赛预赛第一试第8题)

分析因为线段OC与线段AB交于圆内一点，不妨设为点P，则由向量基本定理中的三点共线结论可知

且

λ1+λ2=1.

m=λλ1，n=λλ2,

因此

m+n=λ(λ1+λ2)=λ>1.

故选B．

( )

(2017年4月湖州、衢州、丽水三地市高三数学教学质量检测卷第9题)

图5

2.2 试题变式的归纳总结与延伸

笔者发现，例1是以平面向量基本定理为背景的题目，应用前面的结论和图形模型可以解决，而且这道题还能一般化，即当∠AOB=α(其中α为定角且α≠kπ,k∈Z)时，还能确定m+n的取值范围．

图6

sinθ=msinα，

且

cosθ=mcosα+n，

即

图7

且λ1+λ2=1．因为△OAB∽△ODE，由相似比得

进而

m=cλ1,n=cλ2，

因此

m+n=c，

|OP|<1，

则

m+n>1，

限于篇幅，证明从略.

3 例题与变式研究

(2011年重庆市第一中学高三数学模拟试题第10题改编)

图8 图9

(2013年浙江省杭州市高三一模数学试题第16题)

评注本题主要运用了三点共线、定理1和图形模型．

( )

(2017年浙江省余杭、长兴、缙云三校4月高考模拟试题第8题)

分析如图10，易知

同理可得

故选C．

图10 图11

图12 图13

变式3若a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足c+a=λ(c+b)(其中λ∈R)，则|c|的最小值为______．

分析c+a=λ(c+b)(其中λ∈R),即

4 向量问题应试策略

向量复习中要加强数学语言、向量相关概念的理解，特别是试题中的向量等式表达形式如c=λa+μb(其中λ,μ∈R，λ+μ=1)表示三点共线、不等式形式意义的理解，运用图式(几何法)则要求我们在复习备考时要掌握基本图形模型，理解题目的几何属性、数图结合，追求理解几何实质，施行向量的相关线性运算转化求解策略，这在应试中尤为重要．教师复习教学时要指导学生重视整理：1)基本概念、定理、向量运算特别是数量积及其几何意义；2)主要的思想方法技巧；3)重要的图形背景(如平行四边形法则、图式模型)[3]．

另外，高三数学教师要关注每年的数学竞赛题，特别是向量试题，它的变式或同类题往往成为当年或今后高考题的前生.每年浙江省数学高考卷中的向量试题是全卷的亮点之一，它通常都是前几年数学竞赛向量题的演变，因此它就成了既新颖又蕴含思想立意的靓题了．

[1] 章建跃．让学生在几何学习中学会认识和解决问题的方法[J]．中学数学教学参考：中旬，2013(1/2)：3-6．

[2] 李承法．向量问题的几种图形模型[J]．中学数学月刊,2015(10)：46-47．

[3] 周荣阳．“变”中找“定”——浅析平面向量几何法[J].中学教研(数学),2014(10)：32-34．

O123.1

A

1003-6407(2017)10-47-04