数学教学要处理好4个关系——“数学归纳法”一轮复习课引发的思考

● (灵璧第一中学,安徽 灵璧 234200)

2017-06-12

郑良(1980-)，男，安徽灵璧人，中学高级教师.研究方向数学教育.

数学教学要处理好4个关系
——“数学归纳法”一轮复习课引发的思考

●郑良
(灵璧第一中学,安徽 灵璧 234200)

文章以“数学归纳法”一轮复习课为载体，以即时所想为抓手，探索课堂教学如何把握“显性与隐性”“形式与本质”“发散与收敛”“继承与发展”这4个关系.

数学归纳法；有效教学；递推；探究

近日，笔者随堂听了几位新教师题为“数学归纳法”的一轮复习课，他们对该部分内容的处理大同小异，引发了笔者诸多思考.下面简要回顾教学过程及听课过程中的所思所想，结合自身实践，给出教学思考.

1 教学过程回顾

1.1 复习回顾

教师先通过PPT展示高考对该内容的要求(1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题)；然后以填空的形式与学生一起回顾数学归纳法的原理、证明步骤(含各步骤的基本功能)及使用时要注意的事项等；接着利用基础自测题对学生进行热身练习.

笔者在听课中发现，不少教师进行新授课(含优质课比赛)、复习课等课型教学时，通常先展示阶段或高考对相关内容的要求.通过交流，授课教师认为此举的作用能使学生知己知彼，有的放矢.教师展示教学目标与高考要求是否有必要,是否是对教学目标与教学设计定位不准的一种补偿？教学是师生共同的创造性活动，教师应强化对数学、教学和学生的深入理解，精心设计教学，将教学内容化显为隐.通过实施教学活动使学生深刻感悟、体会教与学的要求层次，利用数学教与学的内在力量实现对教学内容、思想方法等的精准定位.填空题的启发提示作用明显，每一题均对相关内容进行规定与约束，内容回顾以填空的形式是否合适,采用思维导图等形式是否更有效呢？

1.2 自测练习训练与讲解(略)

1.3 例题选讲

例1用数学归纳法证明：

2) (n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(其中n∈N*).

通过该题，学生明晰了数学归纳法的步骤，尤其是关键的第二步——通过分析通项公式弄清等式两边的规律进行合理“配凑”假设.教师是否可以追问：数学归纳法是一种程序性操作方法，本题不用数学归纳法还能怎样证明？请尝试.

考虑到第1)小题中左边各式的分母为等差数列连续两项的乘积，分子为常数，故可用裂项相消法求和(过程略)，这是学生所熟知的.第2)小题中右边有2n，而左边n个数无法保证每个数都提供2，故尝试添数凑出n个偶数然后让每个偶数都提供一个2，“借一还一”(割补法)使分式约分有序化、可操作化.即

例2若函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

1)证明：2≤xn

2)求数列{xn}的通项公式.

(2012年全国数学高考大纲卷理科试题第22题)

即

x

图1

且

如图1所示，xn+1=g(xn)，从而

2≤x1

数学归纳法与上述利用递推数列图像的方法本质相同，只是形式不同而已.前者将后者中两个函数y=g(x)与y=x的大小关系通过作差转化为y=f(x)与y=0的关系，递推关系中“xn+1”作为g(x)关于xn的函数值，又作为g(x)关于xn+2的自变量，如何进行角色转换？通过y=x实施变换，这是递推数列图像的基本套路(在画余弦函数时就利用此法将角的余弦线从水平“躺着”扶成竖直“站立”).已知递推数列的首项与递推关系就能确定该数列，因此可尝试求出数列{xn+1}的通项公式.

从而

即

变式1已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足(2t+1)(Sn+1-1)=(3t+4)Sn，a1=1，其中t>0.

1)若t为常数，证明：数列{an}为等比数列.

下面主要对第2)小题进行分析：

从而

两边取倒数，得

1)求a1,a2,a3，并猜想{an}的通项公式；

2)证明通项公式的正确性.

下面主要对第1)小题进行分析：

教师总结“归纳—猜想—证明”类型问题的一般步骤：第1步，计算数列的前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项公式或一般结论；第2步，验证一般结论对第一个值n0(其中n0∈N*)成立；第3步，假设n=k(其中k≥n0,n0∈N*)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立；第4步，下结论，由上可知结论对任意n≥n0(其中n∈N*)成立.

运用“归纳—猜想—证明”问题时还需关注：1)归纳整理不到位得不到正确结果，从而给猜想造成困难;2)在不等式证明过程中，不能合理地运用分析法、综合法来求证,教师在教学时应尽可能通过多视角对同一问题进行观察、分析，发散思维，优化解题过程.对于数列{an}的通项an与前n项和Sn的关系式，一般常有两种转化思路：①消去Sn(保留an)得到关于an的递推关系式，进而转化为等差数列或等比数列，直接求出数列{an}的通项公式；②消去an(保留Sn)得到关于Sn的递推关系式，进而转化为等差数列或等比数列，先求出Sn后再用公式

即

进而

解法3同解法2得

得

下同解法2.

常数数列直接建立了数列的第n项与首项的关系，更易沟通条件与结论的联系.

变式1在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(其中n∈N*,λ>0).

1)求a2,a3,a4；

2)猜想{an}的通项公式，并加以证明.

下面主要对第2)小题进行分析：

解法1由第1)小题可猜想an=(n-1)λn+2n，用数学归纳法证明(略).

解法2由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n得

故an=(n-1)λn+2n(其中n∈N*，λ>0).

1)当n=1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；

2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.

下面主要对第2)小题进行分析：

解法1由第1)小题可猜想f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明(略).

故f(n)≤g(n)，当且仅当n=1时，等号成立.

综上所述，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n).

解法4(积分法)当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，即当n=1时，f(n)=g(n)；当n≥2时，

综上所述，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n).

2 教学思考

2.1 教学要处理好“显性”与“隐性”的关系

课堂教学涉及教学方式、目标、知识等的“显性”与“隐性”，显性与隐性是相对的.在三维教学目标中，“知识与技能”目标显性，“过程与方法”和“情感、态度与价值观”目标隐性，把握与落实相对困难，但高考中增加体现学科过程与方法以及情感、态度和价值观的题目是大势所趋.不同的处理方式，可以收获不一样的效果.

因此，在教学过程中，要尽可能地根据实际情况化有形到无形，内蕴其中，通过精心设计让学生以显性为抓手，总结提炼，以隐性促内化，感悟升华.如例1的第2)小题使用了割补法，体现出“进”与“退”辩证统一，培养了学生的理性思维.又如教师让学生在活动中交流感受与收获，更能激发学生的热情与兴趣，还可通过追问等方式设置悬念，持续地刺激学生的大脑皮层，从而提高教学的有效性.

2.2 教学要处理好“形式”与“本质”的关系

《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，因此，高中数学课程应该返璞归真，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.”“强调本质，注意适度形式化”是数学学科的自身诉求，使学生在适时适度“程序化”基础上理解与掌握数学的本质，同时培养学生准确地使用形式化语言来表述数学内容并解决数学问题的能力.

如例2及其变式的解题过程相同，其本质是函数的“不动点”知识；例4变式2的证法1～3形式不同，但本质相同.在平时教学中，教师既不能一味“情境化”(过于直觉、感性)，也不能过度“抽象化”.只有两条腿走路，学生才能走得稳、走得快、走得远，体验与感悟到数学思维的理性精神.

2.3 教学要处理好“发散”与“收敛”的关系

教之道在于“度”，学之道在于“悟”.“度”的确不好把握，教师唯有深入理解数学、理解教学、理解学生，才可能让学生在数学学习中悟出些方法、悟出些思想，切实培养学生的数学能力.在教学中，教师面临着预设与生成，讲授知识与体验过程，教学过程“粗”与“细”，直觉思维与逻辑思维培养，教学与教研等诸多问题.教师要从研究中得到教学的“源头活水”以提高专业素质，清楚所传的“道”，精通所传的“业”，“深入浅出”地应对学生的困惑.

教师如果不明晰例2及其变式的背景，变形能力弱，那么就无法应对例4及其变式，只能照本宣科，这样的教学既没有高度，也没有前瞻性，教学效果自然难以保证.

2.4 教学要处理好“继承”与“发展”的关系

教学不应只给学生提供“黄金”，更要给学生以“点金术”.传统数学教育在夯实基础方面积累了许多宝贵的经验和优良的做法，存在着创新不够等问题.新课改以来，不少课堂教学一味地为了创新,而轻视了优良传统的继承.没有基础知识与扎实的基本功,能力的培养只能是空中楼阁.创新的实质说到底是要进行能力的培养，而能力的培养必须在夯实基础的前提下才可能实现.

因此，我们必须两手抓,既“继承”优良做法,也注重“创新”.在知识与能力方面,既注意夯实,也注重在夯实基础的前提下充分培养学生的创新意识和创造能力.在数学教育中，不能离开能力去打基础,更不能抛开基础去谈能力.学生的现有发展水平是教学的基点，也是生长点.生成只能在学生原有基础上生成.教学中不能以教师的认识来代替学生的认识，对于同一个问题，教师与学生的认识规律是不一致的.郭思乐教授认为，学生的认识具有情感性,从具体到一般,以归纳思维为主；教师的认识具有理智性,从一般到抽象,以演绎思维为主[1].“继承”与“发展”的关系涉及教学的方方面面，如课堂上学生的独立思考、合作交流可看成是学生课前自学的继承，课后反思是课堂学习的发展.

在教学中，教师要基于学情，有的放矢，而不是事无巨细，平均用力.笔者听课随想的方法未必适合每个班级每位学生：一部分学生未必需要理解教师讲授的全部方法；另一部分学生则不应只限制于教师讲授的方法，在掌握通性通法的基础上还应给出自己的独特创见.

[1] 郭思乐.教育走向生本[M].北京：人民教育出版社，2001.

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1003-6407(2017)10-04-05