推本溯源 就式论式——浙江省高考数列压轴题的解题突破

● (温州市第二十一中学,浙江 温州 325000)

2017-07-03

许光军(1968-)，男，浙江温州人，中学高级教师.研究方向数学教育.

推本溯源就式论式
——浙江省高考数列压轴题的解题突破

●许光军
(温州市第二十一中学,浙江 温州 325000)

浙江省数学高考连续3年都以数列不等式的综合题作为压轴.文章剖析2017年浙江省数学高考的压轴题，推本溯源，归纳出数列不等式的解题突破——就“式”论“式”，并用“就式论式”的思路突破浙江省近几年的数列不等式压轴题，为新一轮的高三数学复习备考,提供一个启迪思维、探究解法的视角.

数列压轴题；就式论式；转化变形

数列不等式综合题是以数列知识为背景，以数列的通项、递推公式、前n项和为载体，考查数列的构造、求和、等价转化以及不等式的证明.由于题目条件结构简明，知识交汇丰富，思维跨度较大，能力辐射面广，思想方法渗透自然，具有较好的选拔功能，常常作为高考卷或模拟卷中的压轴题出现.

解答数列不等式综合题，对学生的数学思维能力和常用的数学思想方法应用要求较高，相应的题目难度也比较大.特别是近几年的浙江省数学高考压轴题，题目简明单一，条件变形灵活，学生在解答时，不知从何入手.对于大多数学生来说，更多的是用不完全归纳法做一点浅层次地解答，甚至直接放弃，非常可惜.笔者剖析浙江省近几年的数列不等式的压轴题，试图以题目结论为目标，就“式”论“式”，对题目条件进行有针对性地转化、变形，推本溯源，寻找这类数列不等式压轴题的解题突破.

1 2017年浙江省高考压轴题的“就式论式”

例1已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中x∈N*),证明：当n∈N*时，

1) 0

(2017年浙江省数学高考理科试题第22题)

要证0

1.1 第1)小题的分析

要证明00且xn+1

xn-xn+1=ln(1+xn+1).

方法1分类讨论

若xn+1=0，则xn=xn+1=0，与x1=1矛盾；

若xn+1<0，则xn-xn+1=ln(1+xn+1)<0，即xn+1>xn，从而xn+1>xn>…>x1=1，矛盾；

若xn+1>0，则xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，即xn+1

方法2直接应用不等式

可得xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1，

从而

因为x1=1,所以

又xn+1>0且xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0,故0

1.2 第2)小题的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≥

1.3 第3)小题的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,

从而

因为x1=1,所以

即

从而

于是

故

2 “就式论式”突破2015年和2016年的高考压轴题

下面以浙江省高考最近两年的数列不等式压轴题为例，进一步说明“就式论式”的解题突破.

(2015年浙江省数学高考理科试题第22题)

累加可得

因此

这是本题的难点所在，也是解答本题的关键.对比例1的解题过程，例2的变形更加灵活.

1)证明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省数学高考理科试题第22题)

从而

于是

即

|an|≥2n-1(|a1|-2).

于是

即

|an|≤2.

评注累加是解决本题的关键.与例2相比，例3的条件变形没有那么多样，而是把条件的等价变形式向两个方向累加，这是凸显学生解题能力的亮点.两个小题，一正一反两个方向，方法富有哲理，给人以茅塞顿开的启迪.

3 2008年高考压轴题的再“论式”

回看2008年浙江省数学高考压轴题，如果用“就式论式”的视角来看，解题的突破口也非常自然可以找到.

1)an

2)Sn>n-2；

3)Tn<3.

(2008年浙江省数学高考理科试题第22题)

2)要证Sn>n-2，将其变形为Sn-n>-2，即证

(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)>-2.

(a1-1)+ (a2-1)+…+(an-1)=

由第1)小题可知an<1,从而

于是Sn>n-2.

即

从而

找到解题的突破，于是

就式论式，向目标靠近，寻求解题突破的本源.

由4年浙江省数学高考压轴题分析可知：在数列不等式的求解中，数列求和、不等式的放缩等技巧仅仅是求解过程的某个环节.高考中的数列压轴题，更加注重能力立意，全方位地考查数学思维能力，面对这类试题，重复的题海训练往往感到乏力.在解题教学中，指导学生立足题目的结论，探究题目条件等价变形的方向，就式论式，推本溯源，才是一种有效的选择.

从整个数学问题的求解来看，解题的本质，就是从题目的条件到题目结论建立起逻辑联系，平时在教学中常提的一些数学思想方法，都是达成这种联系的必要工具，学生的数学思维和数学能力，具体体现在建立这种联系的过程中.从这一点上来看，“就式论式”不仅仅是数列不等式的解题突破，也可以为新一轮高三数学复习备考中“如何启迪思维，怎样提升数学素养，探求解题本源”提供一个新的视角.

[1] 蔡小雄．更高更妙的高中数学思想与方法[M]．杭州：浙江大学出版社，2012.

[2] 卢明．稳中求变 体现创新——2015年浙江数学高考理科数列试题评析[J]．中学教研(数学)，2015(8)：23-27．

[3] 许光军．如何从n=k到n=k+1[J]．高中数学教与学，2008(10)：3-5．

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A

1003-6407(2017)10-41-04