一些带min和max的等式和不等式的应用

● (杭州市基础教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成万 (杭州市第十四中学,浙江 杭州 310006)

2017-07-02

王红权(1970-)，男，浙江杭州人，中学高级教师.研究方向数学教育．

一些带min和max的等式和不等式的应用

●王红权
(杭州市基础教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成万
(杭州市第十四中学,浙江 杭州 310006)

近几年高考试题中常出现一些带有符号min和max的试题.题目结构千变万化，解题方法技巧性强，学生对符号“min”和“max”非常恐惧.文章梳理出与这类题目相关的6个等式和不等式，揭示这类试题的特点，透视解题方法，从而让考生深刻理解这类试题的本质，少走弯路．

绝对值不等式；绝对值恒等式；解题策略

随着课程改革的推进，高考试题也常考常新，近几年出现一些带有符号min和max的试题，题目结构千变万化，给人感觉耳目一新的同时，也让人眼花缭乱，解题方法有较强的技巧性，难以把握．学生往往通过分类讨论而陷入泥潭，从而对符号“min”和“max”产生一种恐惧心理．因此梳理这类题目的特点和解题方法很有必要，能更好地理解符号min{x，y}和max{x，y}的含义，为破解含这些符号的试题提供新的视角和技术保障．与这些问题有关的一些常见的等式和不等式，具体有如下6个：

⑤ |x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥ ||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

本文约定“min”表示两者中的较小者，“max”表示两者中的较大者，即

1 不等式串min{x，y}≤(或)≤max{x，y}的应用

该不等式串的意义十分明显：两个数中较小的数不大于它们的平均数，即

且两个数中较大的数不小于它们的平均数，即

道理浅显易懂，但运用它解决具体问题却非易事，需要费一番功夫．

max{x，y}．

(1)

作为拓展不等式串的一个运用，请看例2．

例2若函数f(x)=x2+px+q的图像经过点(α，0)，(β，0)，且存在整数n，使得n<α<β

( )

(2014年浙江省杭州市高三第一学期教学质量检测试题第8题)

解设f(x)=(x-α)(x-β)，则

f(n)·f(n+1)=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)=

其中等号不能同时取到,从而

故选B.

(2013年浙江省高中数学竞赛试题第16题)

( )

A．min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D．max{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省数学高考理科试题第8题)

解因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab，

|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab，

两式相加，得

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，

从而 max{|a+b|2，|a-b|2}≥

故选D．

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).

这种解法简洁灵巧，但需要解题者有较强的数学洞察力，是体现学生数学核心素养的好题．

2 平凡恒等式的应用

接下来我们看式③和④，我们称其为平凡恒等式或者平均数等式．

这是一组对偶的式子，意义十分明显，式③表示两个数中较小数等于它们的平均数减去它们绝对值之差的一半，即

式④表示两个数中较大数等于它们的平均数加上它们绝对值之差的一半，即

图1

这一点可以在数轴上直观表示出来．如图1，设点A对应实数x，点C对应实数y，点B为AC的中点，则

例5若实数x，y满足不等式组

设z=min{2x-y+4，x+y+6}，则z的取值范围是

( )

A．[9，11] B．[9，12]

C．[9，13] D．[9，14]

(2017年4月浙江省稽阳联谊学校高三联考试题第7题)

解根据式③，得

z= min{2x-y+4，x+y+6}=

当x=4，y=3时，zmin=9；当x=6，y=3时，zmax=13.故选C．

例6已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|．若a>0，则

( )

A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

(2017年浙江省数学高考模拟试卷第10题)

解设

则

F(a)=2min{f(a),g(1-a)},

F(-a)=2min{f(a),g(1+a)}.

由题意知

g(1+a)>g(1-a),

从而F(a)= 2min{f(a),g(1-a)}≤

2min{f(a),g(1+a)}=F(-a),

F(1+a)=2min{f(1+a),g(a)},

F(1-a)=2min{f(1-a),g(a)},

于是F(1+a)= 2min{f(1+a),g(a)}≥

2min{f(1-a),g(a)}=

F(1-a)．

评注例5和例6都是有一定难度的题目，当时学生的得分都不高，究其原因主要是解题工具选择不恰当．如例5，大部分学生是根据线性规划来讨论的，运算相当复杂；例6学生更是无从下手．笔者运用式③，解法简单明了，使问题的难度降低了一个档次．

例7已知a>0，b∈R,函数f(x)=4ax2-2bx-a+b．证明：当0≤x≤1时，函数f(x)的最大值为|2a-b|+a．

(2014年浙江省数学高考理科试题第22题改编)

解f(x)max=max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}=

|2a-b|+a.

(2017年浙江省高中数学竞赛试题第10题)

2max{f(x)，g(x)}，

方程可转化为

max{f(x)，g(x)}=ax+2.

设F(x)=max{f(x)，g(x)}，F(x)的图像如图2所示，则

由-2x=ax+2，解得

图2

得

由x3-x2=2(x2-x1)，得

2x1=3x2，

即

得

评注例7和例8是两道难题，本文运用式④，问题得以轻松解决．可见解题工具的选择是一件很重要的事，选择不得当，简单问题会复杂化；选择得当，复杂问题就会简单化．要做到这一点，关键还是对数学的理解．

3 绝对值恒等式的应用

对于三角形不等式：

||x|-|y||≤{|x-y|或|x+y|}≤|x|+|y|．

当x，y同号时，有

||x|-|y||=|x-y|≤|x+y|=|x|+|y|；

当x，y异号时，有

||x|-|y||=|x+y|≤|x-y|=|x|+|y|．

因此有

⑤|x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

我们称式⑤和式⑥为绝对值恒等式，它在解决有关绝对值的题目中有着广泛的应用，下面举例说明．

根据式⑥有

因为a∈[-1，1]，所以

图3

例10设函数

若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(其中l>0)对任意实数x都成立，则l的最小值为______．

(2017年浙江省杭州市高三数学第二次模拟试题第14题)

解|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|=

|(f(x)-1)+(f(x+l)-1)|+|(f(x)-1)-f(x+l)-1|=

2max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥2,

即max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥1恒成立．

评注本题运用公式⑤，将绝对值里面两个函数和转化为绝对值里只有一个函数，使问题大大简化．这种做法的最大优点在于避免了繁杂的讨论．

例11已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[-1，1]上的最大值．

1)证明:当|a|≥2时，M(a，b)≥2；

2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．

(2015年浙江省数学高考理科试题第18题)

1)证明当|a|≥2时，

M(a，b)= max{|f(1)|，|f(-1)|}≥

2)解根据绝对值恒等式(式⑤)有

|a|+|b|= max{|a+b|，|a-b|}=

max{|f(1)-1|，|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|+1，|f(-1)|+1}≤

M(a，b)+1≤3．

评注本题呈现方式简洁明了，解决方法独特，解题过程简约．两个设问，分别用到了本文介绍的两组公式，第1)小题用到了大数不小于平均数这一简单的结论；第2)小题主要是用到绝对值恒等式，并用函数值来代替参数式(如a+b=f(1)-1)，进而根据函数的有界性来控制参变量．

2 后记：大道至简，卸繁驭简

本文研究的6个重要等式与不等式，其意义显而易见，所谓大道至简.在解高考题中能直入问题的本质，把复杂问题简单化，所谓卸繁驭简．大道至简，卸繁驭简，揭示问题的本质，正是我们的教学追求．

[1] 王红权．含绝对值的不等式问题复习研究[J].中学教研(数学)，2016(12)：31-36．

[2] 朱成万．中学数学核心内容的教学解构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015．

O122.3

A

1003-6407(2017)10-23-04