“多元表征”促进百分数意义的概念性理解

朱德江+王建良+王荣

“学为中心”的课堂，需要关注学生的学习起点，关注学生的学习方式，关注学生的学习过程，关注学生的思维特征，促进学生学习的真实发生。特级教师朱德江及其团队一直致力于“学导课堂·深度学习”的研究，本期特刊发其团队的研究成果“基于学生研究的学习方式与过程”的相关文章，以供大家讨论。

【摘 要】概念的深刻理解需要经历“有过程的学习”。“百分数意义”的教学中，可以引导学生结合具体情境和已有经验，用多种表征方式表达对百分数的理解，特别是对两个量的关系用语言描述、假设举例说明、画图表征等多个维度进行解释，可以有效促进百分数意义的概念性理解。通过对学生学习单的对比研究，也可以发现，这一方法的运用也有助于看到学生知识的增长和发展的过程。

【关键词】多元表征 学习方式 概念性理解 百分数意义

“百分数的认识”是一节“数的认识”概念课。百分数意义的理解是教学的核心，理解百分数的意义的关键是什么，是让学生按“百分数表示（ ）是（ ）的百分之（ ）的数”固定格式表述，还是结合具体情境让学生自己用多元方式表述对百分数的理解？从以往教学实践看，很多学生即使会用“男生人数是总人数的60%”“出勤人数是总人数的98%”这样的语言来说明百分数的意义，但学生的理解還是不深入的，达成的是概念的操作性理解（描述性理解）。如何促进学生对百分数意义的概念性理解（关系型理解），我们认为，重点在于让学生结合具体情境和已有经验，用多种表征方式表达对百分数的理解，特别是能对两个量的关系用语言描述、假设举例说明、画图表征等多个维度进行解释，能有效促进百分数意义的概念性理解。

在北师大版六年级上册“认识百分数”的教学中，结合教材问题串3提供的生活中的百分数的两个实例（即“第六次人口普查结果表明：目前我国男性人口约占总人口的51%”“今天全校学生的出勤率是95%”）同构设计两份“学习任务”（用“学习单”的方式呈现），在“学习任务”中作了三个维度多元表征百分数意义的提示，引导学生从多个角度表达自己对百分数意义的理解。两次学习任务，都是让学生结合具体情境和已有经验，通过引导学生用假设总人数举例、画图、根据百分数与分数的关系语言描述等方式多元表征百分数的意义，用自己的语言表达对百分数本质的理解，反映学生对百分数意义理解的现实情况，有效促进百分数概念内化的过程。

[学习单1：

第六次全国人口普查结果表明，目前我国男性人口约占总人口的51%。

“51%”这个百分数表示什么意思？请试着从以下几个不同的角度来解释。

1.先假设总人数。

2.画图。

3.根据百分数与分数的关系。]

[学习单2：

今天全校学生的出勤率是95%。

“95%”这个百分数表示什么意思？请试着从以下几个不同的角度来解释。

1.先假设总人数。

2.画图。

3.根据百分数与分数的关系。]

百分数的意义理解与分数是一致的，所以对于学生而言，对51%的理解是有知识基础的，也是有生活经验的。但学生的基础到底在哪里，不同层次的学生对百分数理解又有什么不同之处？在学习单1中，让学生去解释“男性人口约占总人口的51%”，通过三个维度让学生进行解读，根据实际情况进行课堂教学。在此基础上“学习单2”再次让学生解释“出勤率是95%”是什么意思，用相同的方式去了解学生的实际情况，这样做的目的是更有效地进行对比分析，了解学生的学习进展情况。

在上述教学与研究过程中，“学习单”既是学生学习过程中的操作单，也是研究学生学习过程的重要工具，通过“学习单”能分析学生对这类问题的原始思维状态，分析学生知识理解的水平层次等。通过教学之前和教学之后“学习单”数据的整理和分析，再来回顾研究课堂行为，可以发现从第一次学生表达后的跟进教学，到第二次学生的独立表达，学生在对百分数意义的理解上存在显著差异，下面从三种百分数的表征方式来分析学生学习过程的特征及学习进阶情况。

一、从“假设总人数”的角度表征和理解百分数

（一）学生的两次表征理解情况统计

学习单1“理解正确，表述不完整”典型作品：

[“51”这个百分数表示什么意思？

（1）先假设总人数。

答假设有1000个人]

学习单1“理解正确，表述完整”典型作品：

第一类：假设成“总人数为100人，男性有51人”。有16人。

第二类：用算式计算的有5人。

学习单2典型作品：

（三）学习单1、2对比及课堂行为分析

从学习单1的统计数据上我们可以看出，虽然能正确表述且完整的学生占60%，但表述不够规范，理解的层次更多地停留在一个面上，就是“假设有100人，51人是男性”，不再往其他方向进行拓展。20%的学生只对总人数进行了假设（例如假设总人数有100人，或者假设总人数有1000人），并没有对男性人数的具体数量作出说明，也就是“回答问题的具体指向不清晰、不完整”。还有20%的学生还不会用假设具体数量的方式思考问题。

基于这样的学情，教师如何组织反馈，对促进学生对百分数意义的理解的发展非常关键，下面是具体的教学过程。

师：谁来说一说这个百分数表示什么意思？

生1：如果把总人数比作100%，然后把100%化成分数就是[100100]，这个51%就是[51100]。

师：你听懂他说的意思了吗？他在说，这个百分数和分数是一样的，51%和[51100]是一样的。这是一个解释，还有吗？

生2：这个表示100个人里面有51个人是男的。

师：听明白吗？他想说什么？

生3：他假设全国人口为100人，男性占总人口的51%，100人的51%就是51人。

师追问生3：100人里有51人，那200人呢？

生3：102人。

师：还可以怎么假设？

生4：还可以假设总人数为300人，那么男性就有153人，如果总人数400人，那么男性就有204人……

师：他想表达什么意思？你能用一句话来说吗？

生5：也就是每100人里就有男性51人。

师：非常好，刚才几位同学都在举例说明这个百分数。也就是说每100人里面，男性有51人，每200人里面，男性有102人。

……

从上述教学过程，可以看到教师并没有停留在仅仅假设总人数，追问总数为100人，总數为200人、1000人的情况，而是希望学生体会对“每100人里有几个男性”的理解，这是两种对百分数理解的不同层次。在反馈交流的过程中特别注意让一个人能有多个举例的过程，逐步形成“每100人就有51人是男性”的体验。经过这样的教学过程，学生在原来基础上进行推算，在“学习单2”中，让学生解释“出勤率95%”什么意思时，学生“理解正确，表述完整”的比例有了较大提升，“理解错误”的基本没有了。而且，语言表述中，从百分数意义本质上解释的多了，如：“如果有200人，就有190人出勤”“如果有1000人，有950人出勤”，还有“每100人中，出勤人数是95人”（如图）。这样的语言表述，可以看出学生对于“出勤率95%”是真正理解了。

二、用“画图”表征和理解百分数

（一）学生的两次“画图”表征理解情况统计

（二）学生的典型作品

学习单1“理解正确，图示不完整”典型作品：

第一类：未画完。

第二类：全部用具体数据。

第三类：总人数用100人，51%表示男性部分。

学习单1“理解正确，图示完整”典型作品：

第一类：画饼图。

第二类：画线段图。

□表示出总人数、男性、女性人口。

□表示出总人数和男性人口。

（1）用100%表示总人数，51%表示男性人口。

（2）用“1”表示总人数，51%表示男性人口。

（3）用51%表示男性人口。

学习单2典型作品：

（三）学习单1、2对比及课堂行为分析

图式表达比较直观，也是学生比较喜欢的表达方式。“学习单1”第一次让学生用“画图”表示自己对百分数意义的理解，“理解正确，能用图表达”的学生达到了91.4%，只有三位学生不能正确用“画图”进行解释。但从课堂上的学生作品看，只有40%的学生能准确、完整表达出“百分数51%”的意义，有51.4%的学生所画的图不完整或表述的意义不到位，很多学生画的图是以总数100人为基础画的，而不是100%或“1”，从而，一方面反映出学生对百分数意义的理解还是不深刻的，另一方面也显示出学生还不会准确、完整地用图表示意义。

基于这样的学情，教师组织反馈着力点就是引导学生准确、完整地用图表示百分数的意义，并促进对百分数意义的深刻理解。在实际教学中该教师分三步反馈学生的作品：第一步，呈现用具体人数的，引导学生讨论完善；第二步，呈现一幅不完整的，再一步步进行完善；最后，呈现几幅画得比较好的，让学生进一步感悟。

通过呈现学生不完整的作品，引导学生对这样的作品进行修正，学生经历了多次“补图”的过程，其实就是经历多次完善画图的过程，对学生来说是多次深刻的体验，促进学生的理解由浅显到深入，思考由不完整到逐步完整。在学习单2的调查中，可以看到有85.7%的学生已经能“正确、完整”地用“画图”的方式解释百分数，与教学之前的40%相比，已经有了很大的提高。

三、根据百分数与分数的关系用语言描述表征百分数

（一）学生的两次“语言表述”表征理解情况统计

（二）学生的典型作品

学习单1典型作品：

（三）学习单1、2对比及课堂行为分析

从学习单1的统计结果，可以看到让学生根据百分数与分数的关系解释百分数，也就是用分数的意义迁移到百分数的意义，能清晰地用语言表述的学生较少，只有8.6%的学生能够进行正确且完整的表达（可能与提示语的表述学生不理解也有关），51.4%的学生考虑到了用分数意义的表述方式去解释，但表述不清楚。

基于这样的学情，教师如何组织学习，提供怎样的学习支持？课堂教学中，教师注意追问“哪两个量在做比较？”并通过板书引导：“（ ）是（ ）的51% ，也就是（ ）是（ ）的[51100]。”经过适当引导、交流后，从“学习单2”中可以看到，有60%的学生能准确用语言表述“出勤率95%”的意义了。

在上述三种表征方式的教学及对比研究中，可以看到学生能独立尝试从多个角度表达自己对百分数的理解，但存在理解不深刻、表述不完整等问题，需要教学的进一步跟进，如采用“分步呈现典型材料、组织学生反思交流讨论、利用关键语言引导”等教学策略，促进学生的理解。另外，通过“学习单1”和“学习单2”同构式的对比，可以看到，通过一定方式学习支持和教学跟进，学生对百分数意义的理解有了变化，明显地看到了学习增量与变化。

整节“认识百分数”的教学课引导学生经历了“情境问题，初步理解—多元表征，深化理解—联系实际举例”的教学过程，在这节课的教学过程中重视引导学生多元表征理解百分數的意义，为了了解学生对百分数意义的理解情况，在课后设计了三题后测题进行测试，具体测试结果如下。

后测题1：阳光小学的一项调查表明，近视的学生人数占全校人数的30%。这个百分数表示什么意思？请你从不同的角度来解释，并把解释记录在下面。

答题情况与分析：本题没有作具体的解释角度的提示，但学生都能从不同的角度解释30%的意义，35名学生中，有27人能从举例说明、画图表示、说明数量关系三个角度进行解释，有7人能从两个角度进行解释，只有1人的解释是错误的。也就是有97.1%的学生已经理解了该百分数的意义，并能用不同的方法说明其意义，总体来说学习效果较好。

后测题2：根据国家健康体质测试标准，我校学生一分钟跳绳达标率是97%。“97%”这个百分数表示什么意思？请试着从以下几个不同的角度来解释。（1）假设总人数；（2）画图；（3）根据百分数和分数的关系；（4）97%是怎么算出来的。

答题情况与分析：本题从四个角度提示学生解释自己对百分数的理解，其中前三个角度是课堂教学中出现过的，学生“正确理解、表述完整或基本完整”的都在90%以上。而第四个“怎么算出来的”的角度是新的，看看学生能否从新的角度理解百分数，结果有31人“理解正确，并能完整表述”，占总人数的88.6%。学生的想法有很多：有用具体数量相除的，有用达标人数÷总人数的，有用“100%”-“未达标率的”，方法的多样性，从中可以看出学生对百分数的理解已经比较深入了。

后测题3：你在生活中还见过哪些百分数？分别是什么意思？（提示：举例后，要写一写这个百分数的意思）

答题情况与分析：自己举例并解释，从答题情况能举出百分数例子的有31人，其中19人能完整解释自己举的例子，还有12人解释不是很清晰或不够完整（其中一部分是因为学生举的例子不常见或对数量关系不熟悉，而导致解释不清）。下面是几位学生的答题情况：

上面三道后测题的结果显示，多元表征百分数的意义有利于学生对百分数的理解。经过“认识百分数”一节课的教学后，学生对百分数的意义有了较深的理解，能从假设总人数举例说明、画图、根据和分数之间的关系用语言表述等不同角度去解释百分数，初步实现百分数意义的概念性理解。

（浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心 314000 浙江省嘉兴南湖国际实验学校 314000）