两个正规p-超可解子群的积

毛月梅马小箭汤兴政

(1.山西大同大学量子信息科学研究所,山西大同 037009)

(2.中国科学技术大学数学学院,安徽合肥 230026)

两个正规p-超可解子群的积

毛月梅1,2,马小箭1,汤兴政2

(1.山西大同大学量子信息科学研究所,山西大同 037009)

(2.中国科学技术大学数学学院,安徽合肥 230026)

本文研究了两个正规的p-超可解子群的积构成的极小非p-超可解群的结构的问题.利用有限群论和群类论的一些基本方法,获得了两个正规的p-超可解子群的积仍为p-超可解群的一些充分条件,并推广了文[1]中关于超可解群的情况.

有限群;超可解群;p-超可解群;Sylow子群

1 引言

有限群论研究中一个基本的事实是两个正规可解子群的积是可解群;两个正规幂零子群的积是幂零群;但是,两个正规超可解(p-超可解)子群的积不一定是超可解群(p-超可解群).自然地,产生了以下两个问题:

问题1在何种条件下,两个正规超可解(p-超可解)子群的积仍然是超可解(p-超可解)的?

问题2(见文献[2,第II章,问题6.34])能分解为两个(正规)超可解(p-超可解)子群的积的非超可解群(p-超可解群)有什么样的结构?

许多群论学者都研究过问题1,比如,文[3–13].特别地,Baer[5]证明了:设G是两个正规超可解子群的积,如果G′是幂零的,那么G是超可解的;Friesen[7]证明了:设G是两个正规超可解子群M和N的积,如果指数(|G:M|,|G:N|)=1,那么G是超可解的.最近,郭文彬和Kondrat’ev在文献[8,11]中研究了能分解为两个正规超可解(p-超可解)子群的积的极小非超可解(非p-超可解)群的结构,他们证明了:G是两个正规超可解(p-超可解)子群的积的极小非超可解群(非p-超可解群)当且仅当G/F(G)是准素数的极小非交换群.令P1是由所有可以表示成两个超可解正规子群积的有限群所构成的群类.记P={G|G是非超可解的P1-群,且G的任意P1-真子群和非平凡商群都是超可解的}.文[1]的第五章给出了P-群的结构.

作为此类问题的推广,本文将讨论p-超可解群的情况.令(P1)p是由所有可以表示成两个p-超可解正规子群积的有限群所构成的群类.记Pp={G|G是非p-超可解的(P1)p-群,且G的任意(P1)p-真子群和非平凡商群都是p-超可解的}.本文将分类所有的Pp-群.

本文中用符号G(Gp),U(Up)分别表示所有群(p-群),超可解群(p-超可解群)组成的群类,符号A(p−1)表示所有幂指数整除p−1的交换群作成的群类.易见,U和A(p−1)都是饱和群系.由文[14,引理2.3]知Up也是一个饱和群系.文中所涉及的群均是有限群.未交待的概念和符号参见文献[2,15].

2 准备知识

首先介绍两种p-群,令

注意到Mp(n,1)的极大子群只有〈ap〉=Z(Mp(n,1)),所以Mp(n,1)是一个极小非交换p-群.同样地,Ep(1,1,1)也是一个极小非交换p-群.文[1]中的定理5.2.6已证明以下四类群是仅有的P-群.

群1设p,q是两个素数,其中q|p−1且q＞2.P=Fpv1+Fpv2+···+Fpvq是一个域Fp上的q-维向量空间.设ω为Fp上的一个q次本原单位根.令

且令Q=〈α,β,γ〉,这里Q是由元素α,β,γ在矩阵的乘法运算下所生成的一个群,于是Q≃Eq(1,1,1).令G=PQ,M=P〈α,β〉且N=P〈α,γ〉,那么M和N是G的两个正规的超可解子群且G=MN,但G不是超可解的.将群G记为E(p,q,1).

群2设p,q是两个素数,其中qn|p−1且n≥2.P=Fpv1+Fpv2+···+Fpvq是一个域Fp上的q-维向量空间.设ω,θ分别为Fp上的一个q,qn次本原单位根.令

且令Q=〈β,γ〉,于是Q≃Mq(n,1).令G=PQ,M=P〈β〉和N=P〈βq,γ〉,那么M和N是G的两个正规的超可解子群且G=MN,但G不是超可解的.将群G记为M(p,q,n,θ,ω),根据文[1]中的命题5.2.5,群M(p,q,n,θ,ω)可以简记为M(p,q,n).

设G=FH,如果H正则地作用在F上.称G是一个以F为核以H为补的Frobenius群.

群3设p是一个素数且4|p−1.P=Fpv1+Fpv2是域Fp上的一个2-维向量空间.设θ是Fp上的一个4次本原单位根.令且Q=〈β,γ〉,那么Q≃Q8.令G=PQ,M=P〈β〉且N=P〈γ〉,那么M和N均是G的正规超可解子群且G=MN,但G是一个非超可解的以P为核,以Q为补的Frobenius群,将G记为Q(p,2).

群4设p是一个素数且4 łp−1.P=Fpv1+Fpv2是域Fp上的一个2-维向量空间.

令

且Q=〈α,β,γ〉,那么Q≃D4.令G=PQ,M=P〈α,β〉且N=P〈α,γ〉,那么M和N均是G的正规超可解子群且G=MN.但G是一个非超可解群,将G记为D(p,2).

引理2.1(见文献[1,定理5.2.6])如果群G是一个P-群,那么|π(G)|=2且存在素数p,q使得G与E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)中的一个同构.

引理 2.2(见文献[15,定理1.8.17])假定M是群G的一个正规幂零子群,如果M∩Φ(G)=1,则M是G的一些极小正规子群的直积.

引理2.3(见文献[16,定理2.1.6])假定G是一个p-超可解群且Op′(G)=1,那么p是π(G)中的最大素数,G是超可解的且G有正规的Sylowp-子群.

下述引理是显然的.

引理2.4假定N是群G的一个正规p-子群.如果N≤ZU(G),那么G/CG(N)∈GpA(p−1).

引理2.5(见文献[17,第1章,定理1.4])设N是群G的一个极小正规p-子群.如果G/CG(N)∈A(p−1),那么|N|=p.

引理 2.6(见文献[15,引理1.7.11])假设H/K是群G的一个pd-主因子,则Op(G/CG(H/K))=1.

3 主要结果

定理3.1假定G是一个Pp-群,则存在素数q|p−1使得π(G)={p,q}且G与E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)中的某个群同构.

证因为G是一个Pp-群,所以G是非p-超可解的(P1)p-群且G的任意(P1)p-真子群和任意非平凡商群均是p-超可解的.不妨假设G=MN,其中M,N是G的两个正规的p-超可解子群.通过以下步骤实现定理的证明.

(1)Op′(G)=Φ(G)=1且G是p-闭的可解群.

如果上面断言之一不成立,那么N≠1,其中N=Op′(G)或N=Φ(G).易见,G/N满足定理的假设.对|G|进行归纳知G/N是p-超可解的.因此G是p-超可解的,矛盾.所以Op′(G)=Φ(G)=1.因为M,N是p-超可解的,所以由引理2.3知p是π(M)和π(N)的最大素数,且M和N均是超可解的.又G=MN,因此p是π(G)中的最大素数且G是p-闭的可解群.

(2)G有唯一的极小正规子群K满足G/K是p-超可解的且K=F(G)=Op(G).

设K是G的一个极小正规子群.由定理假设知G/K是p-超可解的,因为所有p-超可解群组成的群类是一个饱和群系,所以K是G的一个唯一极小正规子群.由(1)和引理2.2知1≠F(G)=K1×K2×···×Ks,其中Ki(i=1,···,s)是G的一些极小正规子群.显然,由K的唯一性有K=F(G),从而得K=F(G)=Op(G).

(3)M/K∈A(p−1),N/K∈A(p−1)且G/K是一个非交换q-群,其中q|p−1.

由(2)知F(M)=K.因为M是超可解的,所以M/K=M/F(M)是交换的.由(1)知 Φ(M)=1,所以由引理2.2,K=A1× ···×Ar,其中Ai(i=1,···,r)是M的极小正规子群.因M是超可解的,所以对任意的i均有M/CM(Ai)∈A(p−1).于是M/(CM(A1)∩···∩CM(Ar))∈A(p−1).注意到

所以M/K∈A(p−1).同理可得N/K∈A(p−1).

假设|π(G/K)|≠1,令q∈π(G/K)且Q1/K和Q2/K分别是M/K和N/K的Sylowq-子群.由于M/K∈A(p−1),N/K∈A(p−1),所以Q1,Q2是G的正规超可解子群且(Q1Q2)/K是G/K的一个正规的Sylowq-子群.因此Q1Q2是G的一个(P1)p-真子群,由G的假设知Q1Q2是超可解的.又因为K=F(G)=F(Q1Q2),于是(Q1Q2)/K是交换的.因此G/K的任意Sylow子群在G/K中均是正规且交换的,于是G/K是交换群.又因M/K∈A(p−1),N/K∈A(p−1),所以G/K∈A(p−1).由引理2.5知K是循环的,那么G是超可解的,矛盾.所以|π(G/K)|=1且存在一个素数q＜p使得G/K是一个q-群.显然,G/K是非交换的且q|p−1.因此(3)成立.

(4)G是一个P-群.

显然,G是一个非超可解的P1-群.由(2)和(3),G的任意非平凡商群是超可解的.

另一方面,设A是G的一个P1-真子群.易见,A是G的一个(P1)p-真子群.由G的假设知A是p-超可解的.由于G是p-闭的,所以A也是p-闭的.又因为π(G)={p,q},所以A是超可解的.故G是一个P-群.

(5)得出最后结论.

由(3),(4)和引理2.1知G同构于E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)中的某个群.容易验证E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)都是Pp-群.定理得证.

定义3.2设A是一个群,如果G存在子群H,K使得HK且K/H≌A,则称G有一个A-截断.

推论3.3假设G=MN,其中M,N是G的正规p-超可解子群.那么G是p-超可解的当且仅当G没有A截断,这里A与E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)中的某个群同构.

命题3.4假设G=MN,这里M,N是G的正规p-超可解子群.如果π(p−1)∩π(M)∩π(N)=∅,那么G是p-超可解的.

证因为G/(M∩N)=M/(M∩N)×N/(M∩N),所以只需证明包含于M∩N的G的pd-主因子均是循环的即可.令H/K是G的一个包含在M∩N中的pd-主因子.由引理2.6知Op(G/CG(H/K))=1.又因M/K是p-超可解的,所以H/K≤ZU(M/K).由引理2.4,M/CM(H/K)∈GpA(p−1).注意到

且

所以

从而

同理可得

由于π(p−1)∩π(M)∩π(N)=∅,所以

因此[MCG(H/K)/CG(H/K),NCG(H/K)/CG(H/K)]=1,从而有G/CG(H/K)∈A(p−1).由引理2.5知H/K是循环的.所以G是p-超可解的.

定义3.5设p是一个素数,H是一个初等交换p-群.如果|H|=pn,那么记r(H)=n,并且称H的秩为n.

定理3.6假设G=MN,其中M,N是G的正规p-超可解子群.设q是π(p−1)∩π(M)∩π(N)的最小素数.如果G的任何包含于M∩N的pd-主因子H/K都满足r(H/K)＜q,那么G是p-超可解的.

证由命题3.4,不妨假设π(p−1)∩π(M)∩π(N)≠∅.假设定理不成立,并设G是使得|G|最小的反例.按照以下步骤得出矛盾:

(1)Φ(G)∩M=Φ(G)∩N=1.

假设上面的断言之一不成立,即Φ(G)∩M≠1或Φ(G)∩N≠1.不妨假设Φ(G)∩M≠1,令A=Φ(G)∩M.由于M/A∩NA/A=(M∩N)A/A,所以(G/A,M/A,NA/A)满足定理的假设.由G的选取知G/A是p-超可解的.因此G是p-超可解的,矛盾.

(2)Op′(M)=Op′(N)=1且G是p-闭的可解群.

假定Op′(M)≠1或者Op′(N)≠1,这两种情况是类似的,所以不妨设B=Op′(M)≠1.通过与(1)相似的讨论,知G/B是p-超可解的,由此得G是p-超可解的,矛盾.所以Op′(M)=Op′(N)=1.由引理2.5知p是π(M)和π(N)的最大素数因子且M,N都是p-闭的超可解子群.因G=MN,所以p是π(G)的最大素因子且G是p-闭的可解群.

(3)K是包含于M∩N的G的唯一极小正规子群且K=Op(G)=F(M)=F(N).

设K是G的包含于M的极小正规子群.显然,(G/K,M/K,NK/K)满足定理假设,那么由G的选取知G/K是p-超可解的.因此K是G的包含于M的唯一极小正规子群.由(1)和引理2.2知F(M)=K1×K2×···×Kn,其中Ki(i=1,···,n)是G的极小正规子群.由K的唯一性知F(M)=K.令H是G的包含于N的极小正规子群.同理可得G/H是p-超可解的,H是G的包含于N的唯一的极小正规子群且F(N)=H.显然,K=H.又因为

所以(3)成立.

(4)设A,B是G的两个正规子群且A≤M,B≤N,那么(AB,A,B)满足定理假设.

如果π(A)∩π(B)=∅,由于AB是超可解的,所以(AB,A,B)仍满足假设条件.因此假设π(A)∩π(B)≠∅,令q′是π(A)∩π(B)中的最小的素数.显然,q′≥q.如果断言不成立,那么存在AB的一个包含于A∩B的主因子H/K使得r(H/K)≥q′.显然,A∩B是G的包含于M∩N的正规子群,所以由Jordan-Hölder定理可知M∩N含有一个G的主因子H′/K′使得r(H′/K′)≥r(H/K)≥q′≥q,而这与定理假设矛盾,所以(4)成立.

(5)M/K∈A(p−1),N/K∈A(p−1)且G/K是一个非交换q-群,其中q|p−1.

由(1),Φ(M)=Φ(N)=1.类似于定理3.1的步骤(3)的证明,有

假定|π(G/K)|≥2.设r∈π(G/K)且R1/K,R2/K分别是M/K,N/K的Sylowr-子群.因为M/K,N/K都是交换群且M,N都是超可解群,所以R1≤M,R2≤N是G的两个超可解正规子群.记R=R1R2.易见,G≠R且R/K是G/K的正规的Sylowr-子群.所以由(4)知R是p-超可解的.由引理2.4知R/CR(K)∈GpA(p−1).因为

且Op(G/CG(K))=1,所以

又因为K≤CG(K),所以RCG(K)/CG(K)是G/CG(K)的正规交换的Sylowr-子群,这就推出G/CG(K)是一个交换群.因此G/CG(K)∈A(p−1).由引理2.5知K是循环的.因为K是G的正规Sylowp-子群,所以G是p-超可解的,矛盾.因此|π(G/K)|=1,即存在一个素数r＜p使得G/K是一个r-群.显然,G/K是非交换的且r|p−1.

如果r=q,那么(5)成立.假定r≠q.因为π(G)={p,r},所以p=q且p＞r.因此r/∈π(M)∩π(N).又因为G=MN,所以M和N中有一个包含G的某个Sylowr-子群.不妨假设M包含G的某个Sylowr-子群.由(3)知K是G的包含于M∩N的正规Sylowp-子群,所以G=M,因此G是p-超可解的,矛盾.故(5)成立.

(6)得出最终矛盾.

由(5),π(G)={p,q}且q|p−1.因为K是G的一个包含于M∩N的极小正规子群,所以由定理假设知r(K)＜q,即|K|＜pq.由(5)和推论3.3知G中存在一个截断H/J使得H/J同构于E(p,q,1),M(p,q,n),Q(p,2)和D(p,2)中的某个群.如果H/J同构于Q(p,2)或D(p,2),那么q=2.注意到H/J的Sylowp-子群的阶为pq.因为K是G的一个Sylowp-子群,所以|K|≥pq,矛盾.定理得证.

定理3.7假设G=MN,其中M,N是G的正规p-超可解子群.设q是π(p−1)∩π(M)∩π(N)的最小素数且P是M∩N的一个Sylowp-子群.如果r(P/Φ(P))＜q,那么G是p-超可解的.

证不妨假设π(p−1)∩π(M)∩π(N)≠∅.令q′是

的最小素数,显然q′≥q.因为

所以POp′(M)/Op′(M)为M/Op′(M)∩NOp′(M)/Op′(M)的一个Sylowp-子群且

于是(G/Op′(M),M/Op′(M),NOp′(M)/Op′(M))满足定理的假设.对|G|进行归纳知G/Op′(M)是p-超可解的,因此G是p-超可解的.所以不失一般性,可以假设Op′(M)=1或Op′(N)=1.由引理2.3知M,N均是p-闭的.因此PG,于是Φ(P)G.由于r(P/Φ(P))＜q,所以(G/Φ(P),M/Φ(P),N/Φ(P))满足定理3.6的假设.注意:如果

仍然认为(G/Φ(P),M/Φ(P),N/Φ(P))满足定理3.6的假设.所以对|G|进行归纳有G/Φ(P)是p-超可解的,从而知G是p-超可解的.

推论3.8假设G=MN,其中M,N是G的正规超可解子群.若对任意的p∈π(M∩N),令q是π(p−1)∩π(M)∩π(N)的最小素数,如果对于G的任意包含于M∩N的pd-主因子H/K均有r(H/K)＜q,那么G是超可解的.

推论3.9假设G=MN,其中M,N是G的正规超可解子群.若对任意的p∈π(M∩N),令q是π(p−1)∩π(M)∩π(N)的最小素数,如果P是M∩N的一个Sylowp-子群且满足r(P/Φ(P))＜q,那么G是超可解的.

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THE PRODUCT OF TWO NORMALP-SUPERSOLUBLE SUBGROUPS

MAO Yue-mei1,2,MA Xiao-jian1,TANG Xing-zheng2
(1.Institute of Quantum Information Science,Shanxi Datong University,Datong 037009,China)
(2.School of Mathematical Sciences,University of Science and Technology of China,Hefei 230026,China)

In this paper,we study the stucture of minimal non-p-supersoluble groups which are the product of two normalp-supersoluble subgroups.By using basic methods of finite group theory,some sufficient conditions under which the product of two normalp-supersoluble subgroups is stillp-supersoluble are obtained.Meanwhile,some results in[1]about supersoluble groups can be generalized.

finite groups;supersoluble groups;p-supersoluble groups;Sylow subgroups

20D10;20D15;20D20

O152.1

A

0255-7797(2017)06-1309-08

2016-05-27接收日期:2016-09-05

国家自然科学基金(11371335).

毛月梅(1980–),女,山西大同,博士,主要研究方向:群论.