半次覆盖远离子群和有限群的可解性

李士恒,柳海萍,刘冬华

(1.郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州 450015)

(2.郑州航空工业管理学院经贸学院,河南郑州 450015)

(3.郑州铁路职业技术学院公共教学部,河南郑州 450052)

半次覆盖远离子群和有限群的可解性

李士恒1,柳海萍2,刘冬华3

(1.郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州 450015)

(2.郑州航空工业管理学院经贸学院,河南郑州 450015)

(3.郑州铁路职业技术学院公共教学部,河南郑州 450052)

本文定义了有限群的半次覆盖远离子群概念,研究了半次覆盖远离子群和有限群的可解性问题.利用某些半次覆盖远离子群刻划了有限群的可解性,得到了若所有的sylow子群(或极大子群)半次覆盖远离则群可解,推广了文献[6]中的结果.

有限群;半次覆盖远离子群;极大子群;可解

1 引言

利用子群研究有限群的结构,在有限群的研究中有很重要的地位.很多学者都在这些方面进行了研究,得到了很多重要的结果.如著名的Huppert定理,即有限群为超可解当且仅当它的所有极大子群的指数为素数;有限群为幂零群当且仅当每个极大子群都正规;有限群可解当且仅当它的极大子群均c-正规(见文献[1])等.很多学者对子群的正规性进行了推广,并由此得到了许多关于可解性、超可解性和幂零性的一些充分条件.例如文献[2]证明了如果群G的每一个Sylow子群有在G中正规的极大子群那么G超可解;文献[3,4]中刻画了满足换位子条件的群的结构;文献[10]用某些子群的半正规性刻画了有限群的可解性等.郭秀云在文献[5]中用覆盖-离开子群刻画了群的结构;樊恽、郭秀云[6]等介绍了概念半覆盖远离,这个概念是覆盖远离、几乎正规(见文献[6]定义2.1(2))的推广,而几乎正规是c-正规的推广.他们用Sylow子群或极大子群的半覆盖远离性刻画了有限群的可解性,也用其他一些子群的半覆盖远离性刻画了有限群的超可解性.本文定义了有限群的半次覆盖远离性子群,用有限群的半次覆盖远离性子群刻划群G的可解性.

文中,π是一个素数集合,G是一个群,所有的群都是有限群.π(G)表示群G的阶的所有素因子作成的集合;如果数n的每一个素因子都在π中,称n是一个π-数;H＜G表示H为G的真子群,H◁◁G表示H为G的次正规子群,H为G的极大子群记作H＜·G;称L为G的2-极大子群,如果存在G的极大子群M使L＜·M.

定义1.1设商群M/N为G的次正规因子,H是G的子群.若H满足HM=HN(这里HM和HN不一定是群G的子群),则称H覆盖M/N;若H∩M=H∩N(⇔H∩M/H∩N=1),则称H远离M/N.如果H覆盖或者远离G的某个合成列的每个合成因子,那么称H是G的半次覆盖远离子群.显然这是半覆盖远离子群和次正规子群的一个推广.

下面的例1.1说明半次覆盖远离子群既不是次正规子群也不是半覆盖远离子群,例1.2说明半次覆盖远离子群不一定覆盖远离每一个合成列,相关概念见文献[7,A,第18节].

例1.1设G=3是N和S3的圈积(wreath product),其中S3为3次对称群,N为一个非交换单群.再设H=D〈(12)〉,其中D为基群(base group)B的对角子群(diagonal subgroup),(12)为S3的一个置换.下面验证H覆盖远离次正规列1＜N1＜N1×N2＜B＜B〈(123)〉＜G,其中N1={(a,1,1)|a∈N},N2={(1,a,1)|a∈N}.显然有N1∩H=1=N1∩1、N1∩H=1=(N1×N2)∩H、(N1×N2)H=B〈(12)〉=BH、B∩H=D=B〈(123)〉∩H、(B〈(123))〉H=G(由|B〈(123)〉H|=得)成立,因此H覆盖远离上述次正规列.

另一方面,由B∩H=D≠1和BH=B〈(12)〉≠H得H不覆盖或远离G的主因子B/1,又B是G唯一的极小正规子群,所以H不覆盖或远离G的任何主列,即是H不是G的半覆盖远离子群.显然H也不是G的次正规子群(否则H∩B=D是G的次正规子群从而也是B的次正规子群,但由文献[8,第一章,9.12]可看出这是不可能的).

例1.2设G=A5×〈(67)〉,其中A5为5次交错群,(67)为S7的一个置换,H=〈(12)(34)(67)〉.则H覆盖远离合成列1＜A5＜G(也是主列),但不覆盖远离G的合成列1＜ 〈(67)〉＜G(也是主列).

2 引理

引理2.1设H是群G的子群,1＜···＜N＜M＜···＜G是G的一个次正规列.如果H覆盖（远离）M/N,那么H覆盖(远离)这个次正规列细化后的在M和N之间的任一个合成因子.

证设A/B是满足N≤B＜A≤M的群G的合成因子.当H覆盖M/N时,由HM⊇HA⊇HB⊇HN得H覆盖A/B.如果H远离M/N,那么H∩M=H∩N.因为H∩M≥H∩A≥H∩B≥H∩N,所以H∩A=H∩B.引理得证.

引理2.2设H≤G,NG且(|H|,|N|)=1.如果MG,那么M∩HN=(M∩H)(M∩N).

证设W=M∩HN.由M◁◁G得存在次正规子群Gi(i=0,1,···,r)满足M=Gr◁Gr−1◁···◁G0=G.对r用数学归纳法.

当r=1时MG.从而WHN,WH=HW且NW=WN.又由(|H|,|N|)=1得(|HN:N|,|HN:H|)=1.因此由文献[7,A,1.6(c)]得W=(W∩H)(W∩N)=(M∩H)(M∩N).

假定Gr−1∩HN=(Gr−1∩H)(Gr−1∩N).设Hr−1=(Gr−1∩H),Nr−1=(Gr−1∩N).由M≤Gr−1和归纳假定得W=M∩(Gr−1∩HN)=M∩Hr−1Nr−1=W∩Hr−1Nr−1.

由MGr−1得M⊥Hr−1和M⊥Nr−1,显然也有(|Hr−1Nr−1:Hr−1|,|Hr−1Nr−1:Nr−1|)=1.再次由文献[7,A,1.6(c)]得

引理2.3设H是G的半次覆盖远离子群.

(a)如果H≤M≤G,那么H是M的半次覆盖远离子群.

(b)如果N≤H或(|H|,|N|)=1,那么HN/N是G/N的半次覆盖远离子群.

证 (a)设H是G的半次覆盖远离子群.那么G有合成列1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G使对i=1,···,n有HGi=HGi−1或H∩Gi−1=H∩Gi.设Mi=Gi∩M,i=0,···,n.那么有HMi=HMi−1或H∩Mi=H∩Mi−1.于是H覆盖远离M的次正规列1=MnMn−1···M0=M,从而由引理2.1得H是M的半次覆盖远离子群.

(b)设H是G的半次覆盖远离子群,H覆盖远离主列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.即有HGi=HGi−1或H∩Gi=H∩Gi−1.HGi=HGi−1显然结论成立,只需要证明H∩Gi=H∩Gi−1时的情形.

如果N≤H,那么H/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)/N(由文献[7,A,1.3]可得)且H/N∩GiN/N=N(H∩Gi)/N.结合H∩Gi=H∩Gi−1得(H/N∩GiN/N)=(H/N∩Gi−1N/N).于是,由引理2.1得H/N是G/N的半次覆盖远离子群.

如果(|H|,|N|)=1,那么HN/N∩Gi−1N/N=N(HN∩Gi−1)/N.又由引理2.2得HN∩Gi−1=(H∩Gi−1)(N∩Gi−1),所以HN/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)(N∩Gi−1)/N=N(H∩Gi−1)/N≌H∩Gi−1.同理有H/N∩GiN/N≌H∩Gi.因此HN/N∩Gi−1N/N=HN/N∩GiN/N,从而H/N是G/N的半次覆盖远离子群.

引理2.4设G为有限群且L是G的2-极大子群.如果L=1,那么G可解.

证如果L=1,那么G有一个素数阶的极大子群,从而由文献[8,第四章,7.4]得G可解.

引理2.5设G为有限群,A/B为G的次正规因子,H≤G,则有

(1)(A∩H)B=A⇔HB=HA;

(2)(A∩H)B=B⇔B∩H=A∩H.

证(1)若(A∩H)B=A则HB=(H(A∩H))B=H((A∩H)B)H=HA;反之,若HB=HA则由文献[7,A,1.3]得A=A∩HA=A∩HB=(A∩H)B.

(2)若(A∩H)B=B则由文献[7,A,1.3]得B∩H=((A∩H)B)∩H=(A∩H)(B∩H)=A∩H;反之,若B∩H=A∩H则B(A∩H)=B(B∩H)=B.

3 主要结果

定理3.1设G是有限群.如果G的每一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.

证假设结论不成立,设G是极小阶反例.

因为G的商群的极大子群的逆像是G的极大子群,由引理2.3,G的商群满足定理的假设.因此,对任意的NG,由G是极小阶反例得G/N是可解的.如果G有两个极小正规子群,那么由可解群类是饱和群系得G是可解的.因此,假定G有唯一的极小正规子群,设为N.若N是可解的则G是可解的,所以假定N非可解.于是N=N1×N2×···×Nr,其中N1≌N2≌···≌Nr为非可解单群.由文献[7,A,15.2]得CG(N)=1.

设P=P1×P2×···×Pr＞1,其中Pi∈Sylp(Ni),i=1,2,···,r,则P∈Sylp(N).由Frattini推断得G=NNG(P).因为N是G的极小正规子群且P＜N,所以存在M＜·G使NG(P)≤M,从而G=MN.由题设,可设M覆盖远离合成列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.由文献[7,A,14.3]得N≤NG(G1),若N∩G1=1,则有1=CG(N)≥G1,这是不可能的.因此N∩G1≠1,又N∩G1◁◁G,结合G1为极小次正规子群得N≥G1.由文献[8,第一章,9.12定理]可假设N1=G1.因为M∩G1≥P1＞1,所以M覆盖G1/1,即有MG1=M,从而N1=G1≤M.由N1N得所以由N是唯一的极小正规子群得所以G=MN=M,与M＜·G矛盾.定理得证.

定理3.2若群G的每一个2-极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.

证对每一个M＜·G,由定理的假设条件和引理2.3得M的每一个极大子群均在M中半覆盖远离.因此由定理3.1得M可解.

另一方面,对每一个N◁G,由引理2.3,有G/N满足定理的假设条件.如果N≠1,那么对|G|用归纳法得G/N可解.因此,如果N＜G那么N必含于某一个极大子群,从而N可解,G可解.因此,可假定G是非交换单群.于是,对G的任一个2-极大子群L,由假设条件得L=G或L=1.由L是一个2-极大子群知L=G不可能,于是必有L=1,从而由引理2.4得G是可解群.

定理3.3群G是可解群当且仅当G的任意子群都是G的半次覆盖远离子群.

证必要性:群G是可解群,设1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是可解群得Gi−1/Gi为p阶群,i=1,···,n−1.设H≤G,则Gi−1∩HGi或Gi−1∩H⊆Gi.若前者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi−1;若后者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi.由引理2.5分别得

充分性由定理3.1或定理3.2显然可得.

注3.1由定理3.3知道半次覆盖远离子群只能刻画群的可解性,且定理3.1和定理3.2的条件都是群可解的充要条件.

定理3.4群G是p-可解群当且仅当G有Sylowp-子群P是G的半次覆盖远离子群.

证必要性:假设群G是p-可解群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是p-可解群得Gi−1/Gi为p阶群或p′-群,i=1,···,n−1.设P是G的任一Sylowp-子群.则Gi−1/Gi为p阶群时,Gi−1∩PGi;Gi−1/Gi为p′-群时,Gi−1∩P⊆Gi.从而Gi(Gi−1∩P)=Gi−1和Gi(Gi−1∩P)=Gi.由引理2.5分别得PGi=PGi−1和Gi∩P=Gi−1∩P.

充分性:假设G有Sylowp-子群P是G的半次覆盖远离子群,则可设P覆盖远离G的一个合成列1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G.

若PGi=PGi−1,则由引理2.5得(Gi−1∩P)Gi=Gi−1.由Gi−1◁◁G得Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).从而Gi−1/Gi为p-群,结合Gi−1/Gi为单群得Gi−1/Gi为p阶群.

若Gi∩P=Gi−1∩P,则由引理2.5得Gi(Gi−1∩P)=Gi.由Gi−1◁◁G得Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).因此Gi−1/Gi为p′-群.

由定理3.4可得推论3.1.

推论3.1群G是可解群当且仅当G的任意Sylow子群都是G的半次覆盖远离子群.

由推论3.1、定理3.1和定理3.3得推论3.2.

推论3.2(见文献[6,定理2.2])设G是一个群.则如下的3个命题等价:

(l)G是一个可解群;

(2)G的每一Sylow子群在G中具有半覆盖远离性;

(3)G的每一极大子群在G中都具有半覆盖远离性.

平行于文献[6,定理3.1],结合定理3.3,只可能得到如下结论.

定理3.5群G是可解群当且仅当G每一个非循环Sylow子群的任一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群.

证必要性由定理3.3显然可得,下面证明充分性.

(1)设P是G的一个Sylowp-子群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的任一合成列,其中p∈π(G).则

于是(Gi−1∩P)Gi/Gi是Gi−1/Gi的Sylowp-子群.且由

得(Gi−1∩P)Gi/Gi同构于P的一个截断.

(2)设P是G的一个Sylowp-子群,若P循环则由(1)得Gi−1/Gi的Sylowp-子群为循环群.

(3)设P是G的一个Sylowp-子群,P1＜·P.若P非循环,则P1覆盖远离G的某一合成列1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G.

(i)若P1覆盖Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi−1=(P1∩Gi−1)Gi.于是

是一个p-群,结合Gi−1/Gi是单群得Gi−1/Gi为p阶群.

(ii)若P1远离Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi=(P1∩Gi−1)Gi.

若(P∩Gi−1)⊆P1,则(P∩Gi−1)=(P1∩Gi−1).因此得Gi=(P∩Gi−1)Gi,从而由P∩Gi−1为Gi−1的Sylowp-子群得Gi−1/Gi为p′-群.

若(P∩Gi−1)P1则(P∩Gi−1)P1=P.又由P1＜·P得P1◁P且|P:P1|=p.于是由|(P∩Gi−1)||P1|/|(P1∩Gi−1)|=|P|得|(P∩Gi−1):(P1∩Gi−1)|=p.所以

为p阶群或1.

总之,由(2),(3)得Gi−1/Gi的Sylow子群为循环群.因此Gi−1/Gi可解(见文献[9,V,6.2定理]),从而为素数阶群.所以群G是可解群.

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SEMI-SUBNORMAL-COVER-AVOIDANCE SUBGROUPS AND THE SOLVABLITY OF FINITE GROUPS

LI Shi-heng1,LIU Hai-ping2,LIU Dong-hua3
(1.School of Science,Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015,China)
(2.School of Economics and Trade,Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015,China)
(3.Department of Public Education,Zhengzhou Railway Vocational and Technical College,Zhengzhou 450052,China)

In this paper,we de fine semi-subnormal-cover-avoidance subgroups of finite groups and study the solvability between groups and their semi-subnormal-cover-avoidance subgroups.With semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,we characterize the solvability of finite groups and obtain the results that the group is soluble if all of its sylow groups(or maximal subgroups)are semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,which generalize the results in[6].

finite group;Semi-subnormal-cover-avoidance subgroups;maximal subgroups;solvable

20D10;20D35

O152.1

A

0255-7797(2017)06-1303-06

2016-01-28接收日期:2016-06-08

国家自然科学基金青年项目资助 (11501176);河南省高等学校重点科研项目资助(16A110039).

李士恒(1977–),男,河南邓州,讲师,主要研究方向:群论.