基于波函数法的自由阻尼薄板与声学耦合响应

夏小均，徐中明，赖诗洋，张志飞, 贺岩松

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400030；2.重庆大学 汽车工程学院,重庆 400030;3.重庆工程职业技术学院 机械工程学院,重庆 402260)

基于波函数法的自由阻尼薄板与声学耦合响应

夏小均1,2，徐中明1,2，赖诗洋3，张志飞1,2, 贺岩松1,2

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400030；2.重庆大学 汽车工程学院,重庆 400030;3.重庆工程职业技术学院 机械工程学院,重庆 402260)

对敷设自由阻尼薄板振动响应进行了分析，以复刚度为基础得到了在Kirchhoff理论下复合薄板振动控制方程。基于波函数法理论，推导了自由阻尼薄板振动分析模型以及包含自由阻尼结构与声腔的三维耦合模型的建模方法;以四边固支自由阻尼矩形板及耦合的结构声学系统为例，分别以波函数法与有限元法计算了其50～500 Hz频段内的结构与声学响应。结果表明：波函数法能有效的应用于添加自由阻尼的薄板振动以及结构声耦合系统响应的预测与分析;相比于有限元法，其高精度、高收敛率的特点使波函数能有效解决更高频率的声振问题。

自由阻尼；波函数法；弯曲振动；结构声耦合

随着计算机辅助工程CAE(Computer Aided Engineering)技术更广泛的运用和对现在有数值分析手段的深入研究，研究者发现广泛应用的基于单元的方法如有限元法、边界元法，由于插值误差与污染误差的存在，其只能应对较低频率问题。而基于模态重叠率假设的统计类方法如统计能量法只对高频问题有效[1-3]。因此，20世纪末出现的“中频危机”使得人们努力地探寻针对中频问题的数值分析方法和手段。当下代表性研究主要有：波有限元法(Wave Finite Element Method,WFEM)[4]，统计能量分布法(Statistical Modal Energy Distribution Analysis,SMEDA)[5]，复包络向量(Complex Envelope Vectorization,CEV)[6]，复射线变分理论(Variational Theory of Complex Rays,VTCR)[7], 混合有限元-统计能量法(Hybrid Finite Element/Statistical Energy Analysis Method,Hybrid FE-SEA)[8],能量分析布法(Energy Distribution Analysis,EDA)[9],以及波函数法(Wave Based Method,WBM)[10]。其中Hybrid FE-SEA已经应用在一些商用软件上，指导了很多工程研究，但该种方法的结果仍是时间或空间上的平均，且在仍存在一些理论待完善。而本文要讨论的波函数则是完全不同现有基于单元法的确定性数值分析方法。

到目前，波函数法已经成功运用到了平板弯曲振动、薄膜振动、结构声学耦合响应[11-13]、多孔阻尼材料声学耦合响应[14]等问题。国内Peng等[16-17]对基于薄板弯曲振动以及二维的结构声耦合问题也进行过相应研究。通过对该类常见声振问题的预测分析，波函数法展现出了高效高精度的特点，使其能有效的运用于中频振动与声学问题。而在振动特性明显的薄板类结构上敷设阻尼，业已成为工程中最常见的减振降噪手段，虽然基于单元法对自由阻尼结构的也有相关研究[18]，但如上文所述，该类方法分析中频问题往往要求付出巨大的时间成本与精度妥协。因此，研究以如波函数法等高效的数值方法分析含有自由阻尼的结构振动与声学响应问题，实现该类系统的中频声振预测具有实际的研究意义与工程价值。

文章在完成自由阻尼薄板振动分析的基础上，结合波函数法理论完成该类结构的弯曲振动响应预测及其与声腔耦合系统的声学响应分析。并通过数值算例，验证了方法的有效性，同时也再次体现了波函数法在针对中频声振问题的高精度与高收敛特性。

1 自由阻尼薄板振动响应

对于添加均匀厚度自由阻尼的薄板如图1所示。结构层厚度为t1,阻尼层厚度为t2。

图1 自由阻尼薄板截面示意图Fig.1 Section of unconstraned damped plate

弯曲刚度为薄板类结构振动响应的关键，本次将敷设阻尼后构建虚拟约束阻尼结构，通过截面弯矩平衡求得带约束层的弯曲刚度，通过消去约束层以及剪切变形的作用后得到自由阻尼薄板的弯曲复刚度B*[19]

(1)

对于含有自由阻尼的薄板，以经典的Kirchhoff理论来描述其弯曲振动。复合薄板振动方程

(2)

对于稳态振动响应，其位移可表达为wt(xs,ys)=wz(xs,ys)ejωt，而在外部激励为Qt=Qejωt时，含有自由阻尼薄板的稳态振动响应控制方程表示为

(3)

2 结构声学耦合稳态响应

对于含自由阻尼和薄板声腔耦合系统，由于受到耦合声压面作用，复合薄板的振动响应方程修正为

(4)

而声学域仍满足Helmholtz波动方程

(5)

(6)

3 波函数法理论与实现

波函数法作为基于间接Trefftz方法，与现有基于单元的方法不同。其将分析域变量表示为严格满足控制方程的一系列波函数的叠加。再通过如Galerkin等加权余量法实现边界残差积分归零，来求得各波函数的权系数，进而得到求解响应。

3.1含自由阻尼薄板的弯曲振动响应

根据波函数法理论，薄板的弯曲振动响应表示为一系列结构波函数的叠加

(7)

结构波函数为

Ψs=e-j(kxsxs+kysys)

(8)

式中:Lxs,Lys分别为薄板外轮廓尺寸;j2=-1;s1=0,1,2,…,ns1;s2=0,1,2,…,ns2,ns=4(ns1+1)+4(ns2+1)波函数数量也即为模型的自由度。而对于外部点激励定义为

(9)

对于各波函数权系数的计算，采取类似有限元中加辽金法等边界加权余量法，将边界误差最小化为0，经整理得到计算各权系数Ws的系统矩阵

[Ass]{Ws}={fs}

(10)

其中,

(11)

(12)

3.2结构声耦合系统

同样，对于声学响应，也可表示为一系列的声学波函数的叠加

φi≈[Φ]{ga}

(13)

式中:ga为未知的权系数;Φ为满足Helmholtz控制方程的波函数，定义为

Φ=e-j(kxax+kyay+kzaz)

(14)

由于结构与声腔的耦合作用，在接合面引入声学波函数附加作用的函数

(15)

式中,Ωs为结构与声域耦合边界。因此结构位移表示式相应变换为

(16)

(17)

其中,

(18)

(19)

(20)

4 数值验证

对于上述基于波函数法对含有自由层结构的声振分析方法，以下通过两个例子进验证。一个为敷设自由阻尼薄板的弯曲振动响应分析，另一个为含有自由阻尼薄板与声腔耦合系统的声学响应。

4.1含自由阻尼矩形薄板

如图2所示尺寸的四边固支的薄板结构。引入的薄板为0.5 mm的铝板，在其表面添加1 mm厚的阻尼层，两种材料的参数如表1所示。在点(0.2 m，0.3 m)位置处施加一个法向的单位力，R点为选取的频响观测点，其平面坐标为(0.44 m，0.11 m)

图2 自由阻尼薄板Fig.2 Geometry of unconstrained plate

表1 复合板材料参数Tab.1 Material parameters of plate and damp

波函数法通过Matlab2016a平台编程实现，而有限元模型则在MSC/Nastran建立。为揭示有限元的特征以及其在更高频率的限制，建立了精细和普通单元尺寸的有限元模型加以对比分析。其中精细有限元模型包含了60 000个四边形单元与60 000个六面体单元，而普通单元尺寸有限元模型包含2 400个四边形单元与2 400个六面体单元。取240 Hz时薄板的法向振动响应结果如图3所示。波函数的计算结果与有限元符合较好。同时为了在频域上对比两种方法，选取了响应点在50～500 Hz段的响应。图4为响应的实部，图5为响应的虚部。结果同样表明，在整个分析频段内，波函数法的计算结果与精细建模的结果吻合较好，而单元尺寸较大的模型则在较多频段出现较大差别，特别是在频率较高的，其偏移更加明显。而未敷设阻尼的薄板振动响应结果如图6所示，薄板受其本身特征频率影响，在很多频率下的出现很大响应，也说明了阻尼的在抑制其振动的效果十分明显。有无阻尼材料模型的计算结果都验证了波函数法对预测自由阻尼薄板的振动响应的有效性。

(a) WBM

(b) FEM图3 薄板在240 Hz法向振动位移响应的等高线图Fig.3 Displacement response contour of damped plate at 240 Hz

图4 含阻尼薄板的振动位移频响曲线(实部)Fig.4 Response plot of reference point with damp (real part)

图5 含阻尼薄板的振动位移频响曲线(虚部)Fig.5 Response plot of reference point with damp (imaginary part)

图6 无阻尼薄板的振动位移响应(实部)Fig.6 Response plot of reference point without damp (real part)

4.2含自由阻尼薄板与声腔耦合系统

薄板结构与声腔耦合系统是工业上广泛应用的系统结构，如汽车车身与内部声腔。而添加阻尼也成为噪声控制的重要和基本的手段。在验证了以波函数法实现含有自由阻尼的薄板弯曲振动的基础上，进一步对此类结构的声固耦合系统的响应进行分析验证。该耦合系统的几何及尺寸如图7所示，在板上取一点(0.2 m，0.2 m，0.5 m)施加单元力，取R点(0.4 m，0.3 m，0.2 m)处的声压响应。

该基于波函数法的耦合模型也在Matlab中建立和完成后处理。有限元耦合模型则在LMS.Virtual.lab中建立和计算，其中精细的有限元模型除了结构与阻尼的单元外增加了3 000 000个声学六面体单元，而普通单元尺寸模型则增加了120 000个声学六面体单元。为了验证阻尼的作用，同样也对无阻尼耦合模型进行了计算。得到的频响曲线如图8、图9所示。与薄板振动响应的结果一致，基于波函数法的计算结果与精细的有限元模型更接近，而普通单元尺寸的有限元模型在较高频率段的偏移明显。添加阻尼后的模型在很多波峰处的响应得到了很大抑制，整体的声压级水平也较无阻尼系统要小。

图7 薄板声腔耦合系统Fig.7 Geometry of coupled vibro-acoutic system

图8 含阻尼耦合系统声学响应Fig.8 Acoustic response of reference point with damp

图9 不含阻尼耦合系统声学响应Fig.9 Acoustic response of reference point without damp

4.3收敛性

通过以上的算例可以看出波函数法在计算含有自由阻尼的薄板声腔等系统的声振响应的正确性，然而该方法能更好的处理中频问题则主要是其拥有高计算精度与效率。为描述计算方法的收敛性，定义相对误差ε

(23)

式中:R(p)为选取点的振动或声学响应;Rref(p)为参考响应值，此处取精细建模的有限元计算结果。

图10、图11分别为自由阻尼薄板算例与结构声耦合算例在相同硬件条件下，在100 Hz时关于计算时间的收敛曲线。虽然波函数法的计算时间包括建模与计算的时间，而有限元法的物理计算时间只包括模型计算时间(前期有限元模型划分与生成的时间未包含)，但对于该类较简单的结构波函数法模型的构建时间很短，对对比结果影响较小。从收敛曲线可以看出，在相同计算精度的情况，波函数法的计算效率高于有限元法。而对于更高频段的声振响应问题，就要求单元尺寸要足够小来捕捉短波特性。这就使得模型计算量变得十分巨大，而伴随的还有边界离散带来的误差累积，所以基于单元的方法主要用于求解低频问题。波函数法没有如单元类方法采用多项式拟合造成的差值误差，同时相比之下其计算量也非常小，因此其能更好的应用于中频问题以及需要重复计算类问题如优化迭代。

图10 薄板结构中WBM与FEM的收敛曲线Fig.10 The convergence of WBM and FEM of the plate model

图11 耦合系统中WBM与FEM的收敛曲线Fig.11 The convergence of WBM and FEM of the coupled system

5 结 论

文章在完成敷设自由阻尼薄板的弯曲振动响应的分析基础上，应用波函数法理论，推导了自由阻尼薄板结构以及其与声腔耦合的WBM模型，实现了波函数法对含有自由阻尼结构的声振预测。以两个数值模型验证该方法的正确性，得到了自由阻尼在中频对薄板类结构的减振作用与效果。通过与有限元法在频响结果与收敛性的对比，体现了波函数法更能有效的处理含有自由阻尼结构系统在更高频段的声振响应问题，也说明了此次探究的有效性。后续将在此基础上，探寻基于Middlin理论下，含有阻尼的板件类弱结构在中频的响应预测方法，以及基于结构或声学响应的阻尼优化。

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Responsesofunconstraineddampedvibro-acousticsystemsusingthewavebasedpredictiontechnique

XIA Xiaojun1,2, XU Zhongming1,2, LAI Shiyang3, ZHANG Zhifei1,2, HE Yansong1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China;3. School of Mechanical Engineering, Chongqing Vocational Institute of Engineering, Chongqing 402260, China)

The global governing vibration equation of an unconstrained damped plate was deduced based on the Kirchhoff theory and the analysis of the complex stiffness. The methodology for predicting the vibration of the unconstrained damped plate and the acoustics of the coupled 3D vibro-acoustic system was proposed by virtue of the wave based method (WBM). Taking a four edges clamped rectangular plate coupled with a box like vibro-acoustic system as a numerical example, the out-plane displacement of the unconstrained damped plate was analysed. The responses at a selected reference point was calculated in the 50-500 Hz frequency band by using the WBM and FEM respectively. The results of the two method validate that the WBM is capable for predicting the vibration and acoustic responses of the unconstrained damped system effectively, and the WBM is more efficient to deal with vibro-acoustic problems compared with the FEM.

unconstrained damping; wave based method; bending vibration; structural-acoustic coupling

U467.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.024

重庆市基础与前沿研究计划项目(CSTC2015JCYJBX0075);中央高校基本科研业务费(106112016CDJZR335522)

2016-05-04 修改稿收到日期：2016-08-10

夏小均 男，博士生，1988年生

徐中明 男，博士，教授，博士生导师，1963年生