支承阻尼对多自由度齿轮系统非线性动力学的影响

向 玲，高雪媛，张力佳，贾 轶

(华北电力大学(保定) 机械工程系，河北 保定 071003)

支承阻尼对多自由度齿轮系统非线性动力学的影响

向 玲，高雪媛，张力佳，贾 轶

(华北电力大学(保定) 机械工程系，河北 保定 071003)

基于周期扩大法的思想，在考虑齿轮副间的时变啮合刚度、齿侧间隙、齿面摩擦等非线性因素的基础上，建立了齿轮副的六自由度非线性动力学模型；采用数值积分方法求解系统响应，结合分岔图、poincaré截面图、FFT频谱及最大李雅普诺夫指数图(Largest Lyapunov Exponent,LLE)，系统地分析了支承阻尼对齿轮系统的影响。结果发现:支承阻尼的提高对系统的混沌吸引子和吸引域有着明显影响，会使其逐渐减小，并使系统的混沌运动逐步退化稳定的周期运动，进而使系统的分岔特性变得更为复杂；随着支承阻尼的提高，系统在径向和扭转方向的1/2次谐振幅度有所降低；支承阻尼对轮齿的啮合的状态有着重要影响，在一定转速区可使系统发生双边冲击到单边冲击的变化。

齿轮副；非线性动力学；摩擦；间隙；支承阻尼

齿轮系统是机械设备中广泛用来传递动力的装置，其动力学行为直接影响生产工作的精度、振动噪声及设备寿命。Vaishya等[1-4]近年研究了多种因素对齿轮系统振动响应的影响。程欧等[5]研究了三自由度含多间隙的齿轮振动模型，发现系统在支承间隙较小而支承刚度较大时更加稳定。李应刚等[6]建立了外部动态激励下直齿轮副的模型，发现增大激励和阻尼比等参数，系统的振动响应能有效得到控制。张慧博等[7]提出了一种考虑径向间隙与动态侧隙耦合的齿轮转子系统动力学模型。王树国等[8]通过建立多间隙二级齿轮系统五自由度非线性振动模型，研究了转速、阻尼比对系统分岔特性的影响。盛冬平等[9]建立了齿轮-转子-轴承系统四自由度的弯扭耦合模型，分析了转速、啮合阻尼及齿侧间隙等参数对系统分岔特性的影响。向玲等[10]采用周期扩大法确定了齿轮副的动力学模型，分析了支承刚度对系统分岔和混沌的影响。

基于以上研究可知，以往对于直齿轮副系统非线性动力学特性的研究多集中在低自由度模型，且多数文献未考虑摩擦的作用；而支承阻尼又是影响齿轮-转子系统非线性动力学特性的一个重要因素，但目前关于支承阻尼对系统响应影响的研究相对较少并且不全面，综上所述，本文基于周期扩大法的思想[11]，综合考虑齿面摩擦、时变啮合刚度、齿侧间隙和综合啮合误差等非线性因素，建立了单级齿轮系统六自由度的动力学方程。运用数值仿真方法重点研究了支承阻尼参数对齿轮系统分叉特性、啮合状态的影响。

1 动力学模型

一对直齿轮副的非线性动力学模型如图1所示。这里引入系统的六个自由度，即{d}={θ1θ2xo1yo1xo2yo2}，图中θ1、θ2为齿轮1、2的扭转角位移；xo1、xo2为齿轮1、2的横向位移；yo1、yo2为齿轮1、2的径向位移。齿轮副的动态啮合力可表示为

δ(t)=yo-yp+rb1θ1(t)-rb2θ2(t)-e(t)

(1)

式中:Fmeshi(i=1、2)为齿对i之间的啮合力；khi(t) (i=1、2)为齿对i之间的时变啮合刚度；chi(i=1、2)为齿对i之间的啮合阻尼；δ(t)为齿轮副的动态传递误差(Dynamic Transimission Error,DTE);e(t)为静态传动误差;f(x)为具有分段线性特征的间隙非线性函数

(2)

图1 直齿轮副非线性动力学模型Fig.1 Nonlinear dynamic model of a spur gear pair

1.1时变啮合刚度

直齿轮的重合度ε一般位于1～2，这就意味着齿轮在传动时处于单双齿交替啮合状态，如图2(a)所示为一对齿的啮合历程，齿轮的单、双齿区啮合时间分别为t1、T0-t1，其中T0为一个法距对应的啮合时间。周期扩大法的思想即为当一对齿啮出时，假设继续保持啮合一个单齿区啮合时间，但对应的啮合刚度、摩擦因数等参数均为0，以一对齿的矩形波时变刚度模型[12-13]为例作说明，假设其扩大周期后的刚度曲线为kh2(t)，则另外一对参与啮合齿的刚度kh1(t)可表示为kh2(t+T0)，轮齿的综合刚度曲线可由两齿对的刚度表示，如图2(b)所示。可知其综合刚度并未因周期的扩大而改变。图中，k1，k2，kmax，kmin分别相关的刚度参数，文中为了进行长期地动力学分析，将单对齿的时变刚度kh2(t)扩展为以2T0为周期的傅里叶级数，则kh1(t)可由kh2(t)得到，两者同取二次谐波项

(3)

(a) 单双齿时变刚度

(b) 综合时变刚度图2 齿轮的时变啮合刚度Fig.2 The time varying stiffness of gear pair

1.2齿面摩擦

对于一对啮合齿，当啮合点在节圆上部和下部时，由于齿面间的滑动速度改变方向，致使摩擦力的方向发生改变。根据库伦摩擦定律，由式(1)可得到啮合时各齿对之间的齿面摩擦力

(4)

式中:μi为齿面摩擦因数，其大小随齿对的相对滑动速度的变化而周期性变化，但变化范围不大；λi为扩大周期后的摩擦力方向系数。

(5)

摩擦力矩可由几何关系推导得到，S1i，S2i(i=1,2)表示齿对i之间的摩擦力对齿轮1、齿轮2的力矩，rbi、rai分别为齿根圆、齿顶圆半径；α为压力角，ω1为主动轮角速度，Pb为基圆节距。

(6)

2 动力学方程的建立及量纲一化

由图1所示模型可得到齿轮副的非线性动力学微分方程式(7)。

(7)

将式(7)中的前两个方程合并，引入动态传递误差δ(t)来表示，同时引入以下无量纲参数

xo=x1·bn,yo=y1·bn,xp=x2·bn,yp=y2·bn,

ch1=ch2=ch,cn=ch/2Mewn,c1=c1x/ch,c2=c1y/ch,

c3=c2x/ch,c4=c2y/ch,k1=k1x/k0,k2=k1y/k0,

方程中的τ仍用t表示，则可得到量纲一化后的微分方程为式(8)。

(8)

式中:f1、f3为轴承的横向预紧力，f2、f4为轴承的径向预紧力；ξ1(t)、ξ2(t)均为周期函数，可由式(9)得到；ρ1(t)、ρ2(t)为摩擦力方向系数的函数。

(9)

无量纲化后的间隙性非线性函数可表示为

(10)

为进行动力学分析，对ζ1(t)，ζ2(t)，ρ1(t)、ρ2(t)展开成以2T0为周期的傅里叶级数，类似于式(3)对函数的傅里叶级数取二次谐波项进行动力学分析。还可推导得到量纲一化后的动态啮合力为

(11)

3 数值仿真与结果分析

采用4～5阶变步长龙格库塔法对式(8)表示的非线性系统进行数值求解，为消去瞬态响应，舍弃前2 000周期的结果。求解系统方程时如无说明均值均设置为0，设置求解的相对精度为RelTol=1×109、绝对精度为AbsTol=1×109。齿轮系统的主要参数如表1所示。

表1 齿轮系统的主要参数Tab.1 Main parameters of gear system

3.1支承阻尼对系统分岔特性的影响

为分析支承阻尼的影响，使用支承阻尼比ci(i=1,2,3,4)来表征支承阻尼的变化。取b=0.5，cn=0.03，通过改变ci来研究系统的变化规律。当ci=0.5时系统随量纲一频率ω变化时的分岔图和最大Lyapunov指数曲线(Largest Lyapunov Exponent,LLE)如图3所示。

(a) 分岔图

(b) LLE曲线图3 ci=0.5时系统随ω变化的分岔图和LLE曲线Fig.3 The bifurcation diagram and LLE curve of the system with the change of ω when ci=0.5

整个激励频率区域，主要由两个混沌区(LLE为正)和若干分隔的周期区(LLE为负)组成；两混沌区域中有狭窄的周期区域。总体上，当激励频率逐渐增加时，系统响应由短周期运动经拟周期分岔进入混沌区1(ω=0.99-1.46)，后经拟周期倒分岔进入周期运动区域ω=1.46-1.76，同样经拟周期分岔和倒分岔进入和离开混沌区2(ω=1.76-2.07)，随后进入稳定短周期运动区域，相应的LLE指数值经历了正、负、零的交替变化。

系统能量的损耗与阻尼有密切关系，而能耗的变化直接影响着系统振动响应的幅度及形态，为探究支承阻尼所对系统产生的影响，图4、5分别给出ci=1.5和ci=2.0时系统随无量纲频率ω变化时的分岔图和对应的LLE曲线曲线图。对比以上各图可知，在三种不同阻尼比情况下，激励频率区域均主要由两个混沌区和间隔周期区组成；随着支撑阻尼的增加，两混沌区域逐渐有减小的趋势，对应LLE正值区域减小；且混沌吸引子的大小和混沌的程度也逐渐减小，这点由LLE指数的大小变化也可以得知。另外，频率区域ω=1.525-1.57的变化尤为明显，随着ci的提高，系统在该区域的响应整体上经历了混沌-拟周期-周期的变化，相关的P截面、相图及轴心轨迹的变化如图6所示，说明了支撑阻尼的提高会使系统的混沌吸引子逐步退化稳定的周期吸引子，使系统运动的有序性加强。同时，随着阻尼的提高，对应周期区域的LLE指数也逐渐减小，说明了阻尼对周期吸引子和吸引域存在着影响。

(a) 分岔图

(b) LLE曲线图4 ci=1.5时系统随ω变化的分岔图和LLE曲线Fig.4 The bifurcation diagram and LLE curve of the system with the change of ω when ci=1.5

(a) 分岔图

(b) LLE曲线图5 ci=2.0时系统随ω变化的分岔图和LLE曲线Fig.5 The bifurcation diagram and LLE curve of the system with the change of ω when ci=2.0

3.2支承阻尼对啮合状态的影响

齿轮的啮合状态可由动态啮合力DMF(Dynamic Meshing Force)的大小作为评估标准，DMF可由式(11)计算得到。这里记DMF最大值为Fmax，最小值记为Fmin，齿面冲击可由Fmax的大小判断，而齿背冲击可由Fmin的大小及符号判断。图7所示为支承阻尼比ci分别为0.5、1.5和2.0时DMF的最大值和最小值曲线。对比图中曲线可知，随着支承阻尼的增加，在扭转方向，1/2谐振频率处的Fmax稍有减小，1/2谐振略有减弱；在低频区，DMF随阻尼变化不大，而在中高频区，随着ci的增加，Fmax和|Fmin|均有所减小；图7(b)中，当ci=2.0时，系统在高频区的|Fmin|基本为0，系统处于单边冲击状态，而在ω=1.55～1.62和ω=1.78～2.02区域，ci=0.5时的|Fmin|基本大于0，此时系统处于双边冲击啮合状态。两图说明了支承阻尼的提高会使系统的啮合状态发生大的变化，但其影响作用与系统的转速有着密切关系。

(a) ω=1.57, ci=0.5 (LLE=0.007 4)

(b) ω=1.57, ci=1.5 (LLE=-0.000 16)

(c) ω=1.57, ci=2 (LLE=-0.008 9)图6 主要频率下系统响应的相图、P截面及轴心轨迹图Fig.6 The phase diagram, the P cross section and the axis trajectory of the system response within the main frequency

(a) 最大值曲线

(b) 最小值曲线图7 不同阻尼比下DMF随ω变化的最大值曲线和最小值曲线Fig.7 The maximum and minimum curves of DMF with the change of ω under different damping ratio

4 结 论

根据周期扩大法的思想建立了考虑齿轮副间的时变啮合刚度、齿侧间隙、齿面摩擦等非线性因素的六自由度齿轮系统非线性动力学模型，用数值仿真方法研究了支承阻尼对齿轮系统非线性动力学的影响，得到以下结论：

(1) 在整个激励频率区域内，系统出现了单周期、拟周期、混沌等多种运动形式，并经多次跳跃由拟周期通道进入混沌运动。

(2) 支承阻尼的增加会使系统的混沌吸引子逐步退化稳定的周期吸引子，混沌区域逐渐有减小的趋势，系统运动的有序性增强；同时，支承阻尼的增加会使对应周期域的LLE指数减小，影响周期吸引子和吸引域。

(3) 在低频区，DMF随支承阻尼变化不大，而在中高频区，随着ci的增加，Fmax和|Fmin|均有所减小；而支承阻尼的提高会影响齿轮系统的啮合状态，但其影响作用与激励频率有密切关系。

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Effectofsupportingdampingonthenonlineardynamicsofmulti-freedomgearsystems

XIANG Ling, GAO Xueyuan, ZHANG Lijia, JIA Yi

(Department of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Based on the period-enlargement method, a six degrees of freedom nonlinear dynamic model with consideration of the rectangular-wave mesh stiffness, backlash, sliding friction and other nonlinear factors of a spur gear pair was established. The numerical integration method was applied to solve the responses of the system. The bifurcation diagrams, Poincaré maps, FFT spectrum and the largest Lyapunov exponents were used to systematically analyze the effect of supporting damping on the gear system. The results show that the chaotic attractor and chaotic domain would decrease gradually and even degenerate to stable periodic motion as the supporting damping is improved, resulting in the complexity of the bifurcation characteristic of the gear system. Moreover, the resonance of the system atω/2(ωis the exciting frequency) would be weakened. Finally, the supporting damping has an important effect on the meshing state of the gear system and could make the system exhibit a change from double-side impact motion to single-side impact motion.

gear pair; nonlinear dynamics; friction; backlash; supporting damping

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.021

国家自然科学基金资助项目(51475164);河北省自然科学基金(E2013502226)

2016-05-25 修改稿收到日期：2016-08-14

向玲 女，博士，教授，1971年4月生