高中数学中的直接证明与间接证明

2017-11-02冯震东

环渤海经济瞭望 2017年9期

关键词：实根综合法分析法

◆冯震东

高中数学中的直接证明与间接证明

◆冯震东

掌握直接证明和间接证明的方法，针对性练习中提高思维能力，十分必要，本文结合高中数学的相关内容，探索了直接证明和间接证明。

数学；直接证明；间接证明

直接证明与间接证明出现在高中数学《推理与证明》当中，随着高考改革的深入，以及新课标的修订，2017年实施新的考试大纲。数学方面删除了几何证明选讲模块，增加了数学文化，对于学生来说并没有太大区别，《推理与证明》依然是必考点，证明方面就是考察直接证明和间接证明。

一、直接证明

直接证明法是利用题目中的已知条件逐步推理证明命题成立的一种方法，它是典型的逻辑证明过程。直接证明方法中有两种方法最为常用，即综合法和分析法。

所谓综合法就是根据题目条件，结合学过定理、公理、定义，一步步推导，结论与命题一致时，命题得证。

这两种方法都是直接证明当中的常用方法，一般在解决证明问题时，通常先以分析法需求解题思路，然后利用综合法展示解题思路，并表述解题过程。因为分析法有着比较明确的解题方向，方便面对问题时寻找解题思路，而综合法条理清晰，可以很方便地进行表述。

图1

该题目，用分析法或是综合法都能解决。题目相对简单，当然为了形成一定的思维逻辑，如上文所言，先利用分析法找思路，然后用综合法表述出来。根据分析法的思维过程，要证明CE=DF成立，那么就需要证明∆EOC∆FOD，为了证明该命题成立，就需要证明CO=DO，EO=FO，∠EOC=∠ FOD。而要证明这三个条件成立，需要分别求证∆ACO∆BDO和AO=BO，而∠ EOC=∠ FOD因为两个角为对顶角，必定相等。其中AO=BO则可以根据已知条件AE=BF，且∆ACO∆BDO即可得证，此时三个条件均已得证，∆EOC∆FOD成立，题目的命题也就得证。基于这个思维过程，利用综合法将解题过程表述出来，步骤如下。

当然，这两种方法也是可以分开用来解答同一个问题。

二、间接证明

间接证明是相对于直接证明来说的，通常的方法是反证法，即先假设一个和原命题相反的命题，然后证明假设命题，最后得出矛盾的结果。此时证明假设命题不为真，即可反向证明原命题成立。一般情况下，大部分证明问题都可以用直接证明的方法来求证，如果一些证明题中出现唯一、至少或至多又或者带有否定性的命题，通常就需要利用反证法求证。

例1：设a，b为实数，那么方程x3+ax+b=0至少有一个实根，那么假设的命题是（）

A.方程x3+ax+b=0没有实根

B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根

C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根

D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根

该题目很简单直接考查反证法的运用，此时需要考虑的是至少这个词汇的反面，所以可以将至少有一个实根否定为没有实根，答案显而易见。