Smarandache LCM函数与数论函数(n)的混合均值计算

马云真, 孙忱, 李江华, 牛旭君

(1.西安理工大学理学院,陕西 西安 710058,2.武警工程大学理学院,陕西 西安 710086)

马云真1, 孙忱1, 李江华1, 牛旭君2

(1.西安理工大学理学院,陕西 西安 710058,2.武警工程大学理学院,陕西 西安 710086)

利用初等和解析方法研究了F.Smarandache LCM函数与数论函数(n)的混合均值分布问题,获得了一些较强的渐近公式,发展丰富了数论领域里相关研究工作.

F.Smarandache LCM函数;数论函数(n);均值;渐近公式

1 引言及结论

F.Smarandache LCM 函数[1]:SL(1)=1,当 n＞1且为n的标准分解式时,有

函数(n):(1)=1,当n＞1且为n的标准分解式时,有

对任意实数x＞1,有

其中 ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

在文献[3]中鲁伟阳和高丽研究了Smarandache LCM函数与数论函数(n)的高次混合均值问题,即就是证明了下面的定理:对任意实数x＞1,有

ζ(s)为 Riemann zeta函数,β＞1,ai(i=2,3,···,k)为可计算常数.

对任意实数x＞1,有

其中 ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

设P(n)表示n的最大素因子,则对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 ζ(s)为Riemann zeta函数.

(1)设k为任意正整数,那么对任意实数x＞1,有渐近公式

p(n)表示n的最小素因子,ci(i=2,3,···,k)为可计算常数且

(2)设k为任意正整数,那么对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 di(i=2,3,···,k)为可计算常数且

本文的主要是利用初等和解析方法研究F.Smarandache LCM函数与数论函数(n)的混合均值问题,并给出几个较强的渐近公式.具体地说也就是证明下面:

定理 1.1对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

定理 1.2对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

定理 1.3对任意实数x＞1,α≥0,有渐近公式

其中 ζ(s)为 Riemann zeta函数,ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

定理 1.4对任意实数x＞1,α≥0,β≥0,有渐近公式

其中 ζ(s)为 Riemann zeta函数,ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

定理 1.5对任意实数x＞1,α＞0,有渐近公式

其中 ζ(s)为 Riemann zeta函数,ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

定理1.6对任意正整数n,函数SL(n)和函数(n)有

2 引理

为了完成定理的证明,首先需要如下两个简单的引理.

引理 2.1[9]对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 ci(i=2,3,···,k)为可计算常数.

引理 2.2[10]设 b(n)(n=1,2,···)是一复数列,其和函数

再设0≤u1＜u2,f(n)是[u1,u2]上的连续可微函数,那么有

引理 2.3[10]对任意实数x＞1,有渐近公式

其中 ζ(s)为Riemann zeta函数.

引理的详细证明参见文献[9-10].

3 定理的证明

证明定义如下两个集合A和B:

则对定理1.1,

利用引理2.1-引理2.3可知,

应用Euler求和公式[10],可得

利用文献[2]中的方法,可知 ∑

对于定理1.5,利用文献[8]中的方法,将正整数集合N 划分成以下5个子集合A′,B′,C′,D′,E′.即

(2)当n∈B′时,SL(n)=P2(n),(n)=2P(n),故

利用引理2.1-引理2.3可知,

(3)当n∈C′时,SL(n)=(n)=P(n),故

(4)当n∈D′时,任意正整数a和素数p有ap≤pa成立,参考文献[8]中的方法,故

(5)当 n ∈E′时,有.如果SL(n)=P(n),那么(n)=P(n).利用文献[8]中的方法,有

对于定理1.6,(1)-(4)显然,然而对(5),令θ(n)表示(n)迭代使函数值不变的最小次数.

(b)当n∈B 时,有

假设存在正整数 k 使得 α12···k ≤ p12···k 则

若对所有的正整数 k 有 α12···k＞ p12···k,则数列

严格递减,于是必存在正整数 k0 使得 α12···k0≤ p12···k0,即有

所以不可能对所有的正整数 k 有 α12···k＞ p12···k成立,定理 1.6 得证!

综上所述,所有定理得到了证明.

致谢：衷心地感谢王尚平教授的支持和鼓励！

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]Lü Zhongtian.On the F.Smarandache LCM function and its mean value[J].Scientia Magna,2007,3(1):22-25.

[3]鲁伟阳,高丽.Smarandache LCM函数与数论函数Ω(n)的高次混合均值[J].延安大学学报:自然科学版,2017,36(1):13-15.

[4]Ma Jinping.The Smarandache multiplicative function[J].Scientia Magna.,2006,1(1):125-128．

[5]徐哲峰.Smarandache函数的值分布性质[J].数学学报,2006,49(5):1009-1012.

[6]沈虹.一个新的数论函数及其它的值分布[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):235-238.

[7]张利霞,赵西卿,郭瑞,等.关于数论函数S(SL(n))=φ(n)的可解性[J].纯粹数学与应用数学,2015,31(5):533-536.

[8]杨衍婷,任刚练.关于Smarandache LCM函数和Smarandache函数SM(n)的混合均值[J].黑龙江大学自然科学学报,2013,30(3):318-320.

[9]Tom M Apostol.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

[10]潘承洞,潘承彪.解析数论[M].北京:科学出版社,1999.

On the hybrid mean value of Smarandache LCM function and Smarandache function(n)

Ma Yunzhen1,Sun Chen1,Li Jianghua1,Niu Xujun2
(1.Faculty of Siciences,Xi′an University of Technology,Xi′an 710058,China;2.Faculty of Sciences,CAPF of Engineering University,Xi′an 710086,China)

Using the elementary and analytic methods to study the F.Smarandache LCM function and arithmetical function(n)hybrid mean value problem,some asymptotic formulas are given,it has developed and enriched the relevant research work in the fi eld of number theory.

F.Smarandache LCM function,arithmetical function(n),mean value,asymptotic formula

O156.4

A

1008-5513(2017)05-0522-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.010

2017-09-12.

陕西省自然科学基金(2017JQ1020).

马云真(1989-),硕士生,研究方向:解析数论及其应用.

李江华,博士,副教授,研究方向:解析数论及其应用.

2010 MSC:11B83