小学生“做数学”能力提升的深度思考与实践建构

李其进

在小学数学教学中，通过学生动手操作，借助一定的教学仪器或技术手段，引导学生通过“做数学”来学习和理解数学概念、原理、公式等，是当前数学教学的基本取向。学生通过“做数学”，从中感受到数学知识的鲜活，同时，学生在学习中亲身参与实践，在操作中主动去探究和发现，能深刻感受到数学知识产生的过程，体验数学知识的建构过程，学生的主体地位得以凸显。

但是，“做数学”不能简单理解为只要学生动手了，就达到“做教学”的目的了；动手做了，就能促进学生思维的发展了；动手做过了，就能得到正确的结论。而应该在学生能力的提升上深度思考：“做数学”是否促进了学生数学化地观察，学生是否在做的过程中有思考、出思想、见模型、得经验。

一、“做”中要有思考，促进学生在实践中“做思共生”

从思维与动作的关系来看，思维源于动作，而动作启动思维，他们之间是相辅相成的，如果动作与思维的联系切断了，思维就得不到发展。“做数学”既要学生动手实践，又要学生动脑思考，才能促进学生在实践中“做思共生”。

首先，以“做”促“思”。“做”是“思”的外显，在教学中应该给予学生“先做”的自由，促进学生思考。在学习过程中，学生往往有一定的操作经验，而且学生要形成新的想法也必须依据现有的生活或者知识经验，这时不妨让其动手尝试一下，让学生“先做”，让他们先拥有一定的解决相应问题的体验和感悟，然后根据自己的理解，再进行自我建构、自我反思。这个时候，“做”就成为“思”的外显表现，所以，让学生在“做”的基础上进行有意义的“思”才有促进学生解决问题的意义。例如，在教学长方体表面积计算时，提供长方体和正方体框架、长方体的表面积展开图等学习材料，先让学生动手操作，折一折、摸一摸、画一画，“解剖”长方体和正方体，在头脑中初步建立长方体和正方体的直观图像，建立长方体6个面之间的关系的表象。在此基础上，让学生思考长方体表面积如何计算。在这一过程中学生的“做”为“思”提供了丰富的感性材料，抓住了推导长方体表面积计算方法的关键，有助于学生形成探索性学习方式，培养创新意识。

其次，先“思”再“做”。“做”是“思”的手段，在教学中应该让学生“想好了再做”。“想好了再做”是学生形成探究意识的关键；“想好了再做”可以让学生经历知识产生的过程，关注学生的思维发展；“想好了再做”可以使学生“做”的指向性更强，目的更明确，效率更明显，对于培养学生的数学思维习惯，有条理、有程序地分析和解决问题大有裨益。例如，为什么经常有学生在计算三角形面积时忘记除以2？实际上，这是因为学生缺乏这样的经验：用两个完全一样的三角形就可以拼成一个平行四边形，沿着一个平行四边形的对角线剪开也可以得到两个完全一样的三角形。这时，让学生思考为什么，“想好了”再向学生提供三角形和平行四边形等学习材料，给予学生“做数学”充分的时间，让学生动手操作实践，亲身经历拼、剪的过程，完善认知结构，形成三角形面积的计算方法。

第三，“做思共生”。“做”是外因，“思”是内因，内因外因相互作用才能更好地促进学生发展。“做”本身不是经验，但“做”有助于学生数学活动经验的获得，“做”能促进儿童心智的发展。例如学习苏教版《数学》四年级下册“三角形三边关系”时，先让学生用能够拼成三角形的三根小棒拼一拼；再让学生用两边长度之和等于第三边的三根小棒拼一拼；最后让学生用两边长度之和小于第三边的三根小棒拼一拼。学生“做思共生”，总结归纳出怎样的三条边可以围成三角形。

二、 “做”中要出思想，引领学生感悟解决问题的方法

向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角。让学生掌握基本数学思想方法，既能使数学更易于理解，又能让学生易于记忆。那么，在小学数学教学中怎样让学生通过操作“做数學”，来体验知识背后的方法及蕴涵的思想呢？

首先，在动手做的过程中，让学生感悟隐含的数学思想。“做数学”重点是从“教”转向“学”，动手“做”是学生参与数学实践活动的重要手段之一，动手操作获得的数学思想方法更形象、更深刻，更能实现迁移，学生有了丰富的体验感悟，能更好地提高学习能力。因此，在引导学生动手操作时，不能仅停留在为理解知识而“做”，更要让学生在“做”中领悟其中的数学思想方法。例如，教学苏教版《数学》五年级下册“圆的面积”一课时，放手让学生动手操作，将圆剪一剪、拼一拼，化曲为直、化圆为方，让学生在观察、操作、探究、交流、反思等活动中，逐步体会圆面积推导的过程，渗透转化思想、感悟数形思想。这样通过“数与形”的相互转化结合，化抽象为直观、化繁杂为简单的方法，既培养了学生的数学兴趣，又掌握了要学的知识。

其次，渗透数学思想时，设计动手“做”促进学生理解。小学数学教学内容蕴含着很多数学思想，为了让学生感悟、理解这些思想，提高解决实际问题的能力，我们应该有意识地设计符合学生实际的动手做实践活动，促进学生在操作中体验、在体验中感悟。例如，教学苏教版《数学》五年级上册“平行四边形的面积”时，利用学生学习已有的长方形知识，拿出准备好的学具，让学生动手操作，通过割补、分割、平移、翻折等途径变形成长方形，进而分析两种图形的面积与底（长）、高（宽）之间的关系，得出平行四边形面积计算公式。这个过程，学生不仅掌握了平行四边形的面积公式， 更经历了推导过程，领悟了转化的数学思想方法，生体验到成功的喜悦。

三、“做”中要见模型，揭示数学直觉背后所隐藏的本质联系

数学知识具有抽象性，而儿童思维又是具体形象的，这是一对矛盾。数学教学中的“做”，更多的是直观观察，但对于学生更深层次的学习来讲，它远非学习的终点，最终还必须在直觉的基础上获得思维提升，建立解决问题的表象，摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡，帮助学生形成稳固的数学认知结构，建立解决问题的模型。数学课堂教学建立数学模型就要解决“抽象性”与“具体形象的矛盾”。有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践是学习数学的主要方式。因此，合理及必要的操作，是学生在建立数学模型过程中的重要活动方式。endprint

首先，在“做”中诱发模型意识。在教学中，当学生面对数学问题，产生解题欲望，让操作成为学生解决问题的内心需求时，就能诱发学生的模型意识。例如“三角形三边关系”教学，都知道三角形是由三条线段围成的，那么，任意提供三条线段是不是就一定能围成一个三形呢？对此，学生心存疑惑。这个时候，提供小棒，动手操作围一围，自然成为学生验证自己内心想法的一种强烈需求。学生在操作过程中发现任意两边长度和大于第三边才能围成三角形。这个操作，是真正建立在学生内在需求础上的数学活动，有效激发学生对数学模型的思考与探索，学生主动建构了数学模型。

其次，在“做”中丰富模型体验。教学中可以发现，一些数学模型，非常抽 象，學生理解困难，容易混淆。这时，我们要尽量将抽象概念做具体演绎，将静态描述转化为动态操作过程，让学生通过操作获得直接感性体验与认识，在多角度操作体验中逐步丰富模型属性。如在教学苏教版《数学》五年级上册“三角形的面积计算”，提供操作学具时，要多元化，既提供两个完全相同的三角形，还要补充一些不完全一样的三角形，让学生在动手“做”的过程中遇到很多冲突和问题，反复多次地操作、讨论后，终于发现只要是两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形，从而发现规律得出面积计算的公式。只有经历“做”的探索过程，学生才能在“做”中有体验、有思考、有感悟，思想、方法才能在脑中沉积、凝聚，建构出人人都能理解的数学模型。

第三，在“做”中生成模型表征。学生在操作中体验、积累经验，是一种思维外化的过程，能够助推其直觉思维和表象思维的发展，内化为他们头脑中的表象或图式，并进一步深化为理性经验和认识，形成数学模型。如在教学苏教版《数学》四年级上册“平行与相交”一课时，如果只是让学生感知生活中有关平行的具体素材，而没有通过动手操作实践，引导学生透过现象看本质的过程，学生在头脑中建立的“平行线”数学模型，可能形态各异，而不是具有一般意义的数学模型。因此，应该通过动手实验的三个活动来引导认识过程：第一个活动，在两条平行线间作垂线；第二个活动，量一量这些垂线的长度；第三个活动，可以用什么办法使两条线始终保持平行。学生通过以上的实践活动，经历了数学化的学习过程，对平行的认识与理解更直观、更深入，就能生成具体、抽象的模型表征，建构数学模型。

四、“做”中要得经验，让学生获得解决问题的实际能力

“做数学”强调学生学习数学是一个积累经验、理解数学、反思数学的过程，是引导学生在数学实践中学习数学，让学生变被动地“听”为主动地“做”的过程，“做”中要得经验，让学生获得解决问题的实际能力。

首先，从生活经验中迁移数学经验。生活中我们亲自做过的事情，往往留下深刻印象；生活中我们亲自经历的事情，往往留下清晰的记忆。数学知识的学习也不例外，学生经历了具体的数学活动之后，必定也留下基本活动经验。例如学习苏教版《数学》四年级下册“三角形的内角和”一课时，请学生自己动手“做”，把任意三角形的两个角撕下来，将两个角的顶点和第三角重合并依次拼接在一起，发现正好形成一个平角，很直观地得出：三角形的内角和是180°。这个过程，学生亲自动手操作，从生活中拼一拼的经验，迁移到数学，获得了对三角形内角和的直观感受，积累了活动经验。

其次，从操作经历中积累数学经验。数学活动经验需要实践，需要学生亲自经历，在“做”的过程中，学生能获得直接经验，促进思维发展，而思维的发展又能让学生更加乐于实践。所以，应该放手让学生去动手、体验，积累活动经验、思维经验。例如在教学苏教版《数学》三年级上册“一一间隔排列”一课时，在学生初步了解什么是一一间隔后，提出问题：用4个正方形和5个三角形摆一排，能做到吗？让学生用正方形和三角形进行自主操作，通过动脑想、动手摆、动口说，感受一一间隔排列规律，并在操作活动中积累了丰富的直接活动经验。通过引导学生对操作活动过程的回顾和思考，深入体会并促进学生理解一一间隔规律，鼓励学生自己发现并总结出一一间隔排列的两种不同情况。从而使学生进一步完善对间隔排列的两种物体间数量关系的认识，丰富了对一一对应这一数学方法的体验，积累了丰富的活动经验。

第三，从反复经历中领悟数学经验。没有经历，一定没有经验，但经历了不等于获得了经验。学生的数学活动经验，是在学生参与数学活动、经历学习的过程中获得的，是在学生个体感觉的基础上获得的。由于个体存在差异，学生虽然经历了同样的活动，但是参与活动的程度和个体之间感悟数学的水平是存在差异的，获得的数学活动经验也就各不相同。所以在活动中，我们要关注学生数学活动的全过程，让学生在反复经历中领悟数学经验。例如，在教学“一一间隔排列”一课时，要通过不同素材构成的题组对比，让学生不断动手操作开展实践活动，加深学生对两种物体一一间隔排列的认识。活动是直观的、经验是直接的，在反思中不断形成经验，不断经历积累数学活动经验的过程，才能更好地领悟数学经验。

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[责任编辑：陈国庆]endprint