探讨圆锥曲线与平面向量的结合

谭松梨

1引言

平面向量既有数值又有方向，在平面几何学中有举足轻重的地位，可以连接不同的考察内容，利用平面向量，可以将几何图形转化为代数分析，从而进行定量分析；圆锥曲线是生活、物理、科研中不可避免接触的一些经典曲线，是科学研究的基石，例如研究椭圆的特性有利于设计更完美的卫星轨道方案，是航天科学的基础。在高中的重点学习方向是平面向量与圆锥曲线的结合，主要是利用平面向量的手段解决圆锥曲线的题目，研究圆锥曲线的特性。

2结合题型之求曲线方程和相关量取值范围

例 双曲线M的中心在坐标系原点O，右焦坐标为为（2，0），右顶点坐标为（[3，0]）。

（1）求M的标准方程。

（2）假设[l∶y=kx+2]与M的有两交点A和B，[OA·OB>2]，求直线方程中k的范围。

解：（1）设方程[x2a2-y2b2=1]。

[a=3，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1]。

则M的方程为[x23-y2=1]。

（2）[y=kx+2代入x23-y2=1]得

[1-3k2x2-62kx-9=0]。

l与M有不同交点，所以：

[1-3k2≠0?=（62k）2+361-3k2=36（1-k2）>0]

可知[k2≠13且k2<1。]

设交点[AxA，xA，BxB，xB]，以及[OA·OB>2]

[xA+xB=62k1-3k2，xAxB=-91-3k2]

计算可得：

[3k2+73k2-1>2，即-3k2+93k2-1>0]。

于是：

[13

综合可知[13

3结合题型之求动点的轨迹

例 如图中所示，点F（1，0），l∶x=-1，P为动点，P与l的垂线的垂足为Q，且[QP·QF=FP·FQ]，求动点P的轨迹。

[l][y][F][x][O][1][-1]

本小题涉及直线、抛物线、向量等知识，考查学生的综合解题能力。

解：设P（x，y），Q（-1，y），由[QP·QF=FP·FQ]得：

（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y）

化简得C∶y2=4x。

4結合题型之求曲线几何特性

例 已知一中心为原点的椭圆，焦点位于x轴，直线斜率为1，与椭圆右焦点F相交，并与椭圆有两个交点A、B，[OA+OB]与[a=（3，-1）]共线，求椭圆的离心率。

解：设方程[x2a2+y2b2=1a>b>0，F（c，0）]

则l为y=x-c，代入椭圆方程，得：

（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0

假设A（x1，y1），B（x2，y2），

则[x1+x2=2a2ca2+b2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2]，

进一步计算可知：

3（y1+y2）+（x1+x2）=0又y1=x1-c，y2=x2-c，

∴3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，

∴x1+x2=[32c]。

即[2a2ca2+b2=3c2]，所以[a2=3b2]。

[∴c=a2-b2=6a3]，

则[e=ca=63]。

5总结

在解题过程中，要灵活将向量和圆锥曲线的知识相结合。出题方向主要求动点轨迹、求相关量和几何特性的取值范围或者数值大小、证明点线存在与否和证明定值等三个方面。

面对这些结合类型题，要有清晰的解题策略，下面将解题策略分解为几个步骤，以供参考：①根据题中的题目背景，建立坐标系，以便进行平面向量的计算；②为了方便计算，要进行充分的消元；③利用圆锥曲线的几何特性，建立坐标与向量之间的桥梁；④对于取值范围的题型，要将等式不等式的关系用方程表达出来；⑤向量是解题过程的重要手段，要充分利用。很多同学在运算方面不过关，经常出现失分现象，所以要提高运算水平，以免出现无谓的失分。最后，题型的总结是方向，但是出题的方式千变万化，学习中要加强总结的能力，才能以不变应万变，将知识掌握在自己手中，不因出题题型变化而丢分，思考的基础上不断探索和总结研究，深入挖掘知识点的深度，这样才能提高分数，考取理想的大学。