数形结合方法在高中数学解题中的应用

幸建

摘 要：数形结合方法是高中数学解题的重要方法，它贯穿高中数学学习的全过程，在解决数学问题时把“数”和“形”有机结合起来，就可以使抽象的代数问题和复杂的几何问题容易解决，掌握数形结合方法能提高解题效率。本文对数形结合方法在解题中的应用方法进行了深入探究。

关键词：高中数学 数形结合方法 数学解题

数形结合方法是高中数学解题的重要方法，其核心就是把抽象的代数式子和直观形象的几何图形结合起来研究和解决数学问题，其应用重点就是把代数问题与几何问题进行相互转化，从而把抽象复杂的数学问题轻松解决。利用数形结合方法解题，主要分两种形式：一是 “以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；二是“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确。笔者结合教学实践，对数形结合方法在高中数学解题中的应用谈几点体会。[1]

一、数形结合方法在解三角函数题中的应用

对于某些三角函数的定义域、值域问题用直接法求解比较麻烦时，如果运用数形结合的方法，把函数问题转化成几何图形问题来解决，就可以方便地找到解决问题的方法。

例1、已知三角函数y=（cosθ+4）/（sinθ-5）求其值域。

解题分析： 对于这样的函数问题，如果直接来求其值域，比较麻烦不易求解。根据直线的斜率公式K=（y-y0）/（x-x0），把三角函数变形为：y=[cosθ-（-4）]/（cosθ-5），这样就能把三角函数y看成是过一个固定点P（5，-4）和一个動点M（sinθ，cosθ）这两点之间的直线的斜率k。通过转化就把“数”的问题变成了“形”的问题。如果假设X=sinθ，y=cosθ，运用sin2θ+cos2θ=1这个三角函数的公式，就能得出：x2+y2=1，此时可求出动点M的运动轨迹是半径为1的圆。这样就把所求问题变成求定点P和单位圆上的任意一点M连线斜率k的取值范围问题。可把直线的方程表示为y+4=k（x-5），整理方程可得：Kx-y-5k-4=0，然后再根据根据图1可得出：圆心到直线的距离小于等于1，列出式子{|-5k-4|/[k2+（-1）2]开方}≤1，这样求出k的值即为函数的值域。通过运用数形结合的方法，问题就能轻松解决。[2]

二、数形结合方法在圆锥曲线解题中的应用

由于圆锥曲线的定义是用数和形结合的方法来对曲线下的定义，在解析几何解题中数形结合的方法应用非常广泛，也是解决这类题目的最好方法。在这部分内容的教学时，要让学生从数和形两个方面来认识和理解曲线问题，这样就能让学生对题目有直观形象的认识的同时，还能掌握问题的数量关系，使问题容易解决。

例2、已知一个动圆C与一个定圆C1：（x+4）2+y2=100相内切，与加一个定圆C2：（x-4）2+y2=4相外切，求：这个动圆的圆心的轨迹方程。

解题分析：要求解出这个动圆的轨迹方程，可以运用数形结合的方法，借助图形的直观性，根据题目所给的条件画出图形，通过画辅助线，假设圆心是P，从图形关系中就能求出圆C的轨迹是一个椭圆。

假设动圆的圆心为P（x，y）其半径为r。因为定圆C1的圆心是（-4，0），半径r1=10；定圆C2的圆心是（4，0），半径r2=2。由于圆C和圆C1内切、和圆C2外切，可由此得出（C1P）=10-r，（C2P）=2+r，（C1P）+（C2P）=12，，从图中看出动点到两个 定点的距离的和为定值12，所以a=6，c=4，由此可求出b2=a2-c2=20。最后求出动点的轨迹方程是X2/36+y2/20=1

三、数形结合方法在不等式解题中的应用

在求解不等式问题有时难以找到思路或者计算过程比较麻烦，如果运用数形结合的方法就能形象直观地解答问题或容易找到解题思路。在利用该方法解题时：首先要求出不等式表示的函数，然后画出函数的图像，再通过函数图像和坐标轴的交点或图像之间的交点来解不等式问题。

例3、某旅行社想租用A、B两种型号的客车为来安排900名客人去旅行。A型客车能载客36人，租金为1600元/辆；B型客车能载客60人，租金为2400元/辆。旅行社要求租车的总数不超过21辆，而且B型车不多于A型车7辆，求：最少的租金是多少？

解题分析：可假设旅行社租用A型车x辆，B型车y辆，总租金为z元。则可以列出题目所给的线性约束条件是x+y≤21，y-x≤7，36x+60y≥900，并且x≥0，x∈N；y≥0，y∈N，所求的目标函数是≤。画出这几条直线的图形就可以看出，符合要求的区域范围，从图中可以看出：目标函数z=1600X+2400y在经过M（5，12）点时，能取得最小值，把A点的坐标值代入z函数中，可求出z=1600x+2400y=1600*5+2400*12=36800（元）。用这种方法把不等式问题进行转化，就可以把问题容易解决。

总之，数形结合的方法对高中数学解题非常有帮助，教师在教学中应注重对数形结合的思想和方法的运用，让学生掌握其本质并能灵活加以运用，就能提高数学解题效率。[3]

参考文献

[1]杨建珍.浅谈数形结合在高中数学中的应用技巧[J].科学咨询.2016 （08）

[2]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].辽宁师范大学. 2012 （08）

[3]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训.2016 （22）endprint