解析高中数学中的函数极值与最值问题

张徐则一

摘 要：比较分析了高中数学当中函数极值问题与最值问题的区别与联系。举例分析了几种典型的求解方法，包括导数法、三角函数法、不等式法、几何法、复合解法，总结归纳其中的解题规律。最后提出相关的解题技巧，指出除了学习掌握解题方法外，还需特别注意计算准确、解答完整。

关键词：高中数学 极值问题 最值问题

一、概念解析

求解函数的极值与最值，是高中数学中函数题的必考点。从严格定义上来说，函数极值与最值是不同的，最值问题的求解立足于整个定义域区间，即在需要求解的定义域中，找到函数值最大或最小的点；而极值问题的求解则是立足于某一点的领域，如果能找到一点，在该点的两端函数连续且函数值均比该点小（或大），那么这一点便是极值点。从图像上可以直观地看出，极值点必然是函数单调性发生转折的点，在极值点处函数由增变减或由减变增，这实际上也是极值点存在的必要条件。定义上的不同导致了在一些情况下函数并没有极值点，而只要函数在某一区间上有定义，则在此区间上必然能找到最值点。[1]

虽然函数极值与最值有所不同，但两者的求法相似，在一些情况下，极值和最值是相等的，或者说要求出最值，免不了求出极值，因此极值问题和最值问题可以划为一类问题。本文所举例题亦是如此，但在必要的时候会做出说明。[2]

二、例题解析

1.导数法

根据函数极值的定义，极值点处函数的一阶导数必然为零，因此通过求解使一阶导数为零的点，便可求出极值点。需要注意的是，函数可能有多个极值点，需要完整地一一求出，并且对于复杂的函数曲线，极值点不一定是最值点。[3]

例：求函数在区间上的最大值和最

小值。

解：题中所给函数为一元三次函数，一般此类函数曲线呈S型，题目要求求解最值而不是极值，因此需要特别注意函数在区间端点上的取值，这将影响极值点是否可以作为最值点。

先对函数求导得，然后求使得导数等于零的点，解方程得，。两个极值点均在题目所要求的区间内，因此需要求出所有极值点和端点的值，综合判断函数在上的最值。经过计算得到，，，，所以题目所给函数在区间的最大值为，最小值为。

2.巧用三角函数

当函数表达式中带有三角函数时，可以利用三角函数的特殊性质进行求解，比如三角函数特殊的值域和不同三角函数间的代数关系，这些都可以作为求解的突破口。

例：已知函数，求该函数在上的最大值。

解：这道题目一看便知道可以用与之间的关系进行变换，再将用中间变量替换掉并配合导数法即可求解，其关键在于做换元时注意定义域的正確性。

首先将函数改写为，然后做换元令，由于，所以，函数即可改写为，。接着对改写后的函数求导得，令导数为零求得，结合导数的取值变化，可知函数在中先增后减，所以函数的最大值。

3.利用不等式求解

不等式所给出的是取值的上限或下限，并且可以确定等号成立的条件，但并不能完整的反映函数在定义域内的增减情况，因此通常可以求最值，但不能严谨地求出极值。在使用不等式求解函数最值时，需要首先构造可以使用不等式定理的形式，然后才能继续求解。

对于上一小节所举三角函数的例题，也可以用不等式方法进行求解，过程如下：

由题目所给定义域，容易知道，将函数两边都取平方得

当且仅当即时，，加之，则此时亦有。

4.几何法

对于一些特定的函数，可以从表达式中探究出一定的几何意义，比如斜率、长度、面积等，但这一类方法普适性并不好，只针对特殊的题目才能排上用场。

例：已知两个变量满足，那么试求函数的最大值。

解：从题目中满足的条件很容易联想到圆的表达式，因此可以从几何意义的角度来求解的最大值。改写表达式得

那么便可看成在圆上的点到两个定点和的距离之和，由图1可知，图中A点的位置对应取到最大值。

5.复合解法

函数极值与最值问题的解法多种多样，有些问题中需要按步骤综合运用多种解法，这在前文已有所体现，下面是一道更有代表性的例子，其中使用了前文尚未提及的判别式法。

例：已知，求的最值。

解：从题目条件可以看出之间的关系具有圆锥曲线的特性，但却不能看出有什么特殊性质，因此先将改写为

可设，，则

将其变形可得

要使用判别式法，还需将变量进一步缩减，利用万能公式，改写得

这里将看作变量，等式必然是有解，因此可做进一步

求解。

当时，可解得，此时，；

当时，利用判别式法，关于要有解则必有，即，解得，因此，此时，对应的，。

所以的最小值为-1，最大值为1。

三、技巧解析

1.从题目入手总结规律

极值和最值问题的求解是比较有规律的，这些规律不在于课本上的概念，而在于对题型的总结。在大量练习的基础上，自发地从习题总结其规律性，可以加深对考点的理解，起到事半功倍的效果。

2.多种方法活学活用

对于诸如文中所举第五类题型，需要熟练使用多种解法综合解题，这就需要不仅对各种解法十分熟悉，还要对不同解法之间的联系十分熟悉。这样才能在了解每一种方法使用场合的基础上，根据对题目的理解随机应变。

3.细心计算大小兼顾

掌握了方法不代表就一定能把题目做对，还需要细心的计算，并且没有疏漏，在考试时千万不能因为找到了解题方法就一时兴奋导致求解不完整。

结语

函数的极值与最值问题是高中数学函数题的必考点，同时也是一个规律性较强的考点。作者根据自身的经验，提出了相关的学习技巧，即在平时训练中总结解题规律，深入探究不同方法的综合运用，并且需要十分注意计算的准确性和完整性。通过本文的解析，希望能给众多学子带来裨益。

参考文献

[1]朱鹏翚.关于连续函数极值求法的分析[J]. 赤峰学院学报（自然科学版），2017，（05）：8-10.

[2]吴水成，陈国华. 数形结合法求函数最值策略[J]. 教育教学论坛，2014，（47）：260-261.

[3]陈宇.函数极值的求法及其在经济管理中的应用[J]. 教育教学坛，2016，（27）：199-200.endprint