浅谈中学数学中数形结合的妙用

赵静涵

摘 要：中学数学中有许多数形结合的例子，如点与实数对、函数与图像、曲线与方程等。在解题中利用数形结合的思想方法，可将抽象的教学语言与直观的图像有机结合起来，发展形象思维和抽象思维并使之转化，从而达到优化数学思维品质（思维的独创性、灵活性、准确性、广阔性）以及培养我们创新意识和创新精神的目的。

关键词：数形结合 数学思维 创新

数学是研究事物的空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”虽然研究的对象和使用的方法不尽相同，但它们之间却有着内在的联系。就在平面直角坐标系中而言，便有点与实数对，函数与图像，曲线与方程的有机结合，因此数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物元不是“数”与“形”的和谐统一。所以数学教学中突出数形结合的思想方法是充分把握了数学的精髓和灵魂。

所谓数形结合的思想方法，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，发展形象思维和抽象思维并使之相互转化。通过对图像的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，通过数理解形，加深对形的认识与思考，更有助于解形。

笔者在做作业中曾碰到这样一些题：

例1.解不等式︱3x-2︱+︱3x+1︱<6（x∈R）

解法一：分类讨论，当x≤时，原不等式可化为2-3x-3x-1<6， x>， ∴

当

∴

当x>时，原不等式可化为3x-2+3x+1<6， x<， ∴

解法二：令z=3x，可使问题转化为研究椭圆︱Z-2︱+︱Z-1︱=6内长轴上点的变化范围，因椭圆长轴顶点横坐标为和，所以<3x<，即

很明显，在平时的解题中利用数形结合的思想方法有效的培养了我们的创新意识，使得解题思路简洁明了。

例2.求值：cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°

解法：观察角的变化，前后相差72°，正好是正五边形的一个外角，因此作一个边长为1的正五边形A1A2A3A4A5（如图1），且A1A2与x轴的夹角为5°，则A1A2=（cos5°，sin5°），A2A3=（cos77°，sin77°），A3A4=（cos149°，sin149°），A4A5=（cos221°，sin221°），由A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A1=0，知cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°=0.

该解法巧妙的应用了向量作出几何图形，体现了数形结合的创造性和和谐美。

下面就数形思想能优化我们数学思维品质，培养我们创新意识和创新精神，粗浅的谈一下自己的看法。

一、數形结合，能优化数学思维品质。

提高数学思维能力，优化数学思维品质是数学教学目标之一。数 形结合思想能引导我们创设新的情景，开拓新的思路，直现易懂，方 法简捷、诱人深思。

1.由数思形，培养数学思维的独创性

例1，某轮船公司每天中午各有一对轮船在纽约和哈係之间相对开 出，途中所化的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开出的船在途中会遇到几艘船迎面而来？

分析：这是在十九世纪的一次国际 数学会议上，法国數学家柳卡向在场的 数学家们提出的一个他称为“最困难”的问题， 当时竟难住了在场的数学家们，答案莫衷一是。事后，才有人实验性地 画了 一个简单到连小学生也能明白的图 形，才宣告问題的解决。”最困难”问 題的解决竟如此简洁，正是发掘了问題 所潜藏的形”的因素，充分发挥了图 形的“形象”的作用。

例2，已知已知a2+b2=1，c2+d2=1，a，b，c，d都是正数，求证：ac+bd≤1。

分析：要求证的是一个代数式不等式，通过观察很容易联想到几何中托勒密定理：圆内接凸四边形对边乘积之和等于两对角线的乘积。于是构造一个直径为1的圆，从而使命题直观化。

证明：作直径为1的圆，其中AC是直径，B，D是圆上两点，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，如图，显然a，b，c，d满足题设条件。

由圆内接四边形的托勒密定理有AB· CD+BC · AD = AC · BD≤ ACa （BD≤ AC）

即ac+bd≤1成立。

2.由形化数，培养数学思维的灵活性。

例3.如图已知三个并排的单位正方形

求证：θ1+θ2+θ3=90°

分析：建立如图高斯复平面，则Z1，Z2，Z3幅角分别是θ1，θ2，θ3，而θ1+θ2+θ3却是三个复数Z1，Z2，Z3乘积的幅角，所以欲证幅角为90°，只须证Z1，Z2，Z3是一个纯虚数即可。

证明：如图3建立高斯复平面，则向量Z1，Z2，Z3幅角分别是θ1，θ2，θ3，而Z1=1+i，Z2=2+i，Z3=3+i，∴Z1·Z2·Z3=（1+i）（2+i）（3+i）=10i

∴Z1·Z2·Z3的幅角θ1+θ2+θ3=90°

例4已知ABCD为正方形，以AB为底向形内作底角为15°的等腰三角形EAB， 求证：△CDE为正三角形。

分析：考虑到题中有丰富的边角关系，不妨运用三角函数来研究。

证明：设正方形的边长为a，则△EAB中运用正弦定理，

=

得AE= =2asin15°，在△DAE中，运用余弦定理

DE2=AD2+AE2-2ADAEcos∠DAE

=a2+（2asin15°）-2·a2·sin15°·cos75°

=a2+4a2（sin15°）2-4a2（sin15°）2=a2

∴DE=a 同理可得CE=a

∴CD = DE=CE

即△CDE为正三角形

3.数形对照，培养数学思维的准确性

例5.已知︱Z-3-4i︱≤6，求︱Z︱的最小值。

分析：在解答此题时我们容易受思维定势负迁移的作用，轻易相信解法：︱Z︱min=6-︱3+4i︱=1，这是脑中无“形”的表现，只有正确的画出如图5，才能找到正确答案︱Z︱min =0

例6，求经过圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2-14x+33=0的交点且经过P（2，1）的圆的方程。

分析：我们在解此题时往往很自然的使用圆系方程，设所求方程为x2+y2-9+λ（ x2+y2-14x+33）=0，再将点P的坐标代入后求出λ=2/5，然后再把λ=2/5代回方程得7X2 + 7y2-28x + 21 = 0，此時 我们便认为大功告成了。实际上这个结论不完整的，只要图形（如图6）一画出，就得知原来的这两个 圆相外切，它们仅有一个公共 点，故给定条件实质上是两个 已知点P、Q，所求解应为圆心 在P、Q两点的连线的垂直平分线上的圆系方程，如图PQ的垂直平分线方程为x-y-2 = 0，故所求圆 的方程的圆心可设为（a， a-2），本题的解为x2+y2-2ax+2（a-2）y+6a-9=0，由此可见，研究“数”问题，利用“形”就不易出错。

4.数形滲透，培养数学思维的广阔性。

例7.如图7，设点A对应复数2，点 B为丨Z|=l上的动点，△ABC是以BC为斜 边的等腰直角三角形，且A、B、C是按 顺时针次序排列的。求C点的轨迹方程。

解法一：设ZB=x1+y1i，ZC=x+yi，由于绕点A按逆时针方向旋转90°得，所以x1+y1-2=（x+yi-2）i，从而x1=2-y，y1=x-2，将其代入x12+y12=1得点C的轨迹方程为（x-2）2+（y-2）2=1.

解二：设ZB=cosθ+isinθ，则x=2+sinθ，且y=2-cosθ，消去参数得：（x-2）2+（y-2）2=1.

解三：绕点A按逆时针方向旋转得。

∴ZB-2=（ZC-2）i，∵丨ZB |=l，∴|（ZC-2）i+2|=1，即|Z-（2+2i）|=1.

解四：由ZC= -ZBi+2+2i，用全等变换方法可得点C的轨迹为（2，2）为圆心，1为半径的圆，∴（x-2）2+（y-2）2=1.

二、 数形结合，培养我们的创新意识和创新精神。

数形结合思想能引导我们突破常规，另辟路径，打破已有的思维 定势。同时也只有不墨守成规，敢于冲破常规解法、常规思路的束缚，才能摆脱思维的呆扳性，才能有所创新。

例8，已知x，y，z均大于零，a=， b=

c=，求适：a + b>c，b+c>a，c + a>b

此题用常规的思维方法，我们可能久思不得其解，陷入了“山重水复疑无路”之境，如果我们不要固守常规解题模式，通过分析a2 = x2 + y2 - 2xycos120°，ba = y2+z2— 2yzCosl20 °，c2 = x2 +z2-2xzCosl20°

运用余弦定理，构造出如图三角形，让我们仿佛进入了“柳暗花明又一村”的天地，这无疑培养了我们的创新意识和创新精神.

三、数形结合，锤炼“双基”，启迪思维。

“双基”是各类数学考试重点，同时又是形成能力的基础，在复习中 注意有关的数形结合的应用，就能锤炼“双基”，启迪思维。

1.数形结合在选择题中的应用。

例9：方裎sinX=lgX的实教根个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.无穷多

分析：由对数函数的定义域知x>0， 又丨sinX 丨≤1，故lgX≤1，即X≤10，所以只要在（0， 10]上画出Y2=LgX，Y2=sinX的图象（图9），可知方程有3个解，应选（C） .

例10：0.32，20.3，log20.3三个数的大小顺序是（ ）

A. 0.32<20.3

C. log20.3<0.32<20.3 D. log20.3<20.3<0.32

分析：题中的三个数可分别视为三个函数Y1 =X2， Y2=2x，Y3 = log2X，当自变量取值 为x = 0. 3时的函数值，可在同一坐标系中画出 三个函数的图像和直线x = 0.3，从图10可知答案为（C）

2.数形结合在解填空题中的应用.

例11：已知X+Y+1=0，则的最小值是_。

分析：如果将看成是两点间的矩离，那么我们头脑里构造一个几何模型。点（1，1）到直线x+y+l=0的距离即为满足题设的最小值，。

四、加强数形结合训练，把握数学思想精髓

加强数形结合训练，可以巩固和加深有关数学概念的理解，打好数学基础，优化数学思维品质，培养我们的创新意识和创新能力，提高分析、解决问题能力。而在训练中还应注意以下几点：

1.以数探形，挖掘条件

数学问题的表述往往是抽象的，让解题者困惑，应注意把题中条件，数学语言用图形表示，并善于发现、挖掘隐含的条件，达到柳暗花明的功效。

2. 数形比较，严密解题

有些代数问题，若用纯代数方法解题时，由于变形时不等价或考虑不周，易解错或漏解。若能将数转化为形，就能化繁为简、化难为易，解法新颖别致，回味无穷。尤其对学生培养发散性思维和创造性思维有很帮助

3.数形兼顾，准确解题

数是形的依据，形是数（式）的体现，两者不可偏废，要兼顾，才 能准确解题。否则会因草图的粗糙轻率，画错图而解错题，

总之，只有把数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象有机地 结合起来，才能充分暴露问題的条件与结论之间的内在联系。通过‘ 数”与形”之间的对立.转化，来优化解决问题的方法，把握数学 精髓。

最后引用著名数学家华罗庚的话“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”。

参考文献

[1]张嘉瑾，《串讲，激活》，大连出版社，2015.

[2]张曙，《数形结合原则在复数教学中的应用》，《数学教学》 2005年第6期。

[3]张奠宙、唐瑞芬、刘鸿坤，《数学教育学》，江西教育出钣社2011。

[4]洪明聪，《形象思维与数学教学》、《中学数学教研》2008年第 11期。

[5]林崇德，《学习与发展》，北京师范大学出钣社，2014年。