再探高考试题中的图像变化规律

许 龙

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

再探高考试题中的图像变化规律

许 龙

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

用高等数学积分知识解决高考试题中图像变化问题,并探究图像中特殊点的含义．

高考;图像;高等数学;积分

高考试题选择题中常有分析两物理量之间的函数变化问题,对高中生而言只要能定性分析其变化规律即可,无需定量研究物理量之间的函数关系,但许多学生并不太明白物理量为何满足这种变化规律,这里笔者结合几道高考试题并用高等数学方面的有关知识来做定量分析计算,探究其图像变化规律．让学生明白在高考试题中这些图像并不是随手一画,简单满足定性规律就可以的,而是满足严格的函数关系．

例1.(2014年重庆理综卷)以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时,一个物体所受空气阻力可忽略,另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比．图1中用虚线和实线描述两物体运动的v-t图像可能正确的是

图1

例2.(2012年江苏卷)将一只皮球竖直向上抛出,皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比．图2中描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图像,可能正确的是

图2

积分可得

代入初始条件t=0时,v=v0,即得

将C代入速度表达式后可得

亦可求解出当物体减速为0时所需的时间为

同时可求导得到物体在运动过程中加速度随时间变化规律为

分析可知当物体速度为0时,仅受重力,其加速度应为重力加速度g．亦可由上述表达式计算验证,将物体减速到0的时间,代入加速度随时间变化关系有

负号表示方向,此时方向与正方向相反——竖直向下,与前面定性分析一致．

另一个不受阻力的物体,其速度时间表达式为v=v0-gt．通过Mathematica软件模拟其图像,如图3.

图3

图4

图5

例3.(2013年新课标高考Ⅱ卷)如图5,在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框;在导线框右侧有一宽度为d(d>L)的条形匀强磁场区域,磁场的边界与导线框的一边平行,磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动,t=0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合,随后导线框进入并通过磁场区域．如图6，v-t图像中,可能正确描述上述过程的是

图6

解析:设线框进入磁场初速度为v0,以初速度方向为正方向,则有线框切割磁感线,产生感应电动势和感应电流,导体棒受到安培力阻碍其运动.

在光滑地面上仅受安培力,即得

可得

由初始条件t=0时,v=v0,可得C=v0,即得

完全进入磁场后线框内磁通量无变化,此时线框无感应电流,线框不会再受到安培力,将做匀速直线运动,直到右边框离开磁场,又会受到安培力,阻碍其运动,其v-t图像如图7.

图7

同时由v-t关系积分可得其位移时间关系为

整合易得

由此可知线框运动过程中速度与运动位移成线性关系,随着线框逐渐进入磁场，其速度逐渐降低,完全进入磁场后匀速运动,离开磁场速度再随位移线性减小,所以如果将(B)选项的横轴改为位移的话就正确了．

虽然高中生对高等数学知之甚少,不需要对某些定性分析的问题进行定量计算，但高中教师在研究高考试题时不但要知其然还要知其所以然,只有不断提高自身的专业素养才能在今后的教学中对许多知识点信手拈来,应用自如．

2017-04-12)