成功之中抓反思

陆红艳

【摘 要】解题过后再反思是我们广大数学教师都需要做的一项重要工作，也是学生所必备的一项基本学习技能。根据所选的典型例题对于知识的认知过程及“成功之中抓反思”的深刻体会，对于广大师生养成良好的自觉反思的习惯是至关重要的。

【关键词】成功；反思；数学；解法；应用

作为一名高中数学教师，我们每天都会解题，每天都会不断地进行总结，但更多的时候我们都是解题成功之后就没有拿更多的时间去思考一下这道题更多的解题思路，或是自己的这种解法是否更加简便，能否具备通用性。下面我就借用对一道高考题谈一下我自己的体会。

原题如下：

题目：（2013年高考新课标卷Ⅱ第11题）设抛物线C：y=2px（p>0）的焦点为F，点M在C上，MF=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）

A.y=4x或y=8x B.y=2x或y=8x

C.y=4x或y=16x D.y=2x或y=16x

我的原来的解法是比较常规而且较繁琐，费事较多，因此虽然题目解对了，但我并不满意，于是我进行了认真地反思：解得不好的原因是题目中一定有个重要的隐含条件未被发掘出来，或某种规律性的东西未被揭示出来而加以利用所致。

基于这种想法，如下图所示，我作MF⊥y轴，N为垂足，目的是将题目中的所有数据在图形中标注出来，然后进行观察、分析、研究，很快就可以发现：NM+OF=x+=FM这个重要的隐含条件。即：直角梯形NOFM的上、下两底边之和等于斜腰。

联想到梯形中位线定理，便知此时中位线长为斜腰长之半。于是得到一个一般性结论：如果一个直角梯形的上、下两底之和等于斜腰，那么以斜腰为直径的圆与直角腰相切于直角腰的中点。

回到原题便得已知点（0，2）为ON的中点，故可得：y=y=4，x===。

从而产生了第一种解法，姑且把它说成解法一。

能够在解题中有所发现而获得一种较为简单的解法，心情是我们广大高中数学教师所不可言喻的。然而在高兴之余，但我仍有一些困惑，因为题目的本质尚未揭示出来，但我还不能用十分简捷的语言概括出此类问题的结果，这就促使我进一步认真地在思考、再探索。

于是我把p=2时p=8时的两个直角梯形都画出来，如图所示：

图中的Q分别在相应的准线上，由于只存在图中的两种使得OM=MF=5D的可能性，故问题有且只有两解。

注意到图1中的F点恰好是图2中的P点，而图1中p的点又恰好是图2中的F点，这就说明，x是某个一元二次方程的两个根，又注意到P点也在以MF为直径的圆上，因此，这个一元二次方程很容易求出来，因而得到

解法二：由切割线定理OPOF=（ON），即得

和x是一元二次方程 的两个根，解

之得： 故=1或=4。故选C答案。

（注：当然，也可以将 或 代入抛物线方程而得到8p=16或2p=16，也可选出C答案。）

又在Rt△FPM中FM=5PM=4，故FP=3，则OP=+3或OP=-3，同样利用切割线定理又可得到

解法三：（+3）=4或（-3）=4。解之取正根，可得：=1或=4。故选C答案。

在难易程度上解法二、揭发三与解法一相当，虽然在解法一的基础上又补充了两种解法，但我希望的结果仍未出现，只能算是得到了一些“副产品”。不过“副产品”积累多了对培养思维的灵活性、开阔性还是很有好处的。

前面得到FP=3。另一方面，又有FP=x-或FP=-x，可合并成FP=

-

x，于是又得到

解法四：

-

x=

-（5-

）=P-5=3 p=5-

3=2或p=5+3=8故选C答案。

至此，我忽然看见了希望的曙光，p的值很有可能就是MF与其在x轴上的射影长差或和。

我立刻由图1，图2加以验证，这就是下面的另一种解法

解法五：图1中p=QM-FP=5-3=2，

图2中p=QM-FP=FM+FP=5+3=8.故选C答案。

将结果用三角函数的形式写下来，就有

解法六：设MF与x正方向所成的角为θ，则p=QM-FMcosθ=MF（1-cosθ）.

图1中cosθ=，图2中cosθ=-.故得：p=5（1-）=2或p=5（1-）.故选C答案。

写到这里我不禁打了自己一下脑袋，焦半径公式“MF=”我原本是知道的呀，为什么起初会想不到用它呢？其实原因很简单，如果知道θ或θ的三角函数和p，我肯定会用它来求MF，但我的头脑中却缺乏在知道MF及θ时，也可以用它来求p这样一种意识，好在亡羊补牢，为时不晚，我终于还是用上了，更为重要的是强化了我对焦半径公式的认识和自觉应用该公式的意识，我坚信，今后再遇见类似的题，即便题目的面貌改变了，性质转化了，内容发展了，我也能随机应变，妙用该公式。想到这些，我欣喜若狂，如获珍宝。说到反思，这难道不就是一种深刻的反思吗？

綜上所述，我更加清醒地认识到，我们对客观事物的认识不是一次完成的，而是要经历一个曲折的、漫长的、由浅入深的认识过程。而对于学会反思，养成自觉反思的良好习惯，就能缩短我们所经历的这个认识过程，最终培养我们高效率的学习能力。特别是对于我们在教学一线的老师而言，这样的良好习惯我们不仅要如鱼得水地应用，更要潜移默化地传授给学生，使他们在学习上达到事半功倍的效果，实现真正意义上的双丰收。

【参考文献】

[1]王申怀.普通高中课程标准试验教科书《数学》选修2-1A版，人民教育出版社，2013.4