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培养学生数学学习的反思能力例析

2017-10-23刘勇

中学课程辅导·教师教育(上、下) 2017年17期
关键词:反思能力数学学习学生

刘勇

摘要:在数学教学中不能一味灌输知识,而要让学生感受、反思。培养学生的反思能力能激发学生的学习热情、发挥学生主观能动性。学生在课堂上对错误的认识进行辨别和反思可以加强对知识的再认识;在课前和课后巩固知识时进行反思和总结对提高学生分析和解决问题能力有着重要意义。

关键词:数学学习;反思能力;学生

中图分类号:G633.6文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)17-057-2

反思是指教师引导学生对数学知识进行一般性回顾的基础之上,进一步的掌握数学学习的思路以及方法,是一种较为有效的学习方式。根据相关数据表明,当前高中生的数学学习反思能力并未达到预期水平,笔者结合自身多年的高中数学教学经验,对如何培养高中生数学学习反思能力进行了分析,旨在为其他的教学工作者提供一定的借鉴。

一、在课堂教学过程中培养学生反思能力

要想培养学生会反思,能对数学结果进行检验和评价,能学会并形成解决问题的思维方法,教师就必须把数学思想方法的培养作为长期的任务,让学生反复经历多次“自主解决”的过程,

1.通过学生的自我反思,提高对数学的学习兴趣

案例1:七人站成一排,其中甲、乙两人相邻,但与丙不相邻,则一共有多少种排法?

绝大部分的学生通过捆绑法、插空法可以得到共有A22A44A25=960种站法。但有的学生却提出不同的想法:只考虑甲、乙相邻,有A22A66种站法,再考虑甲、乙、丙相邻,有A33A55种站法,运用排除法则满足要求共有A22A66-A33A55=720种站法。

看到这截然不同的答案,同学们一时热情高涨,众说纷纭。教学从矛盾开始就是从问题开始。思维自疑问和惊奇开始,在教学中可设计一个学生不易回答的悬念,激发学生强烈的求知欲望,起到启示诱导的作用。这时候根本不需要老师讲解,学生自己就可以得出第二种解法的错误原因:甲、乙、丙相邻应该是在甲、乙相邻的基础上再和丙相邻,并能进行纠正错误,得到正确的答案:A22A66-A22A22A55=960。学生自己提出问题,再让学生自己解决问题,这应该是我们课堂上常采用的模式,既可以提高学生的学习兴趣,又可以培养学生严谨的数学思维。

2.通过学生的自我反思,对数学概念的再认识

案例2:已知集合M={x|y+x+1=0,x,y∈R},N={x|x2+y2=1,x,y∈R},则M∩N等于()

A.ΦB.RC.MD.N

很多学生拿到题目就会毫不犹豫地画出抛物线和圆,再由图象的交点情况选择选项A。这时候我并没有解释,只是又出了一道题:

已知集合M={(x,y)|y+x+1=0,x,y∈R},N={(x,y)|x2+y2=1,x,y∈R},则M∩N等于()

A.ΦB.RC.MD.N

学生很自然对这两题进行对比,再通过思考和分析,不难发现本来的想法是错的,也很快找到正确的答案。但是对这个题目并没有到此为止,而是问学生错误的原因是什么,学生思考后认为对集合的描述法的概念认识不够。于是让学生回归课本,加深对集合的描述法的概念的理解。我又问以后遇到这一类型应注意什么,学生很容易总结出:集合的一般元素和公共属性。

建构主义认为:学生需要对每一个数学概念构造自己的理解,使得“教”的作用不再是讲演、解释,或者企图去“传送”知识,而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键,是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤,这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。创设背景,让学生自我纠错,再和学生在交谈中深化总结,这要比一语道破天机要好很多。

3.过学生的自我反思,对知识进行梳理

案例3:已知椭圆方程x26+y22=1,F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上的任意一点,求cos∠F1MF2的最小值。

有些学生的解答是这样的:

cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1||MF2|

≥2|MF1||MF2|-162|MF1||MF2|,

∴当|MF1|=|MF2|=4时,cos∠F1MF2取最小值12。

这种解答的结果与事实相符,但解题过程中的推理缺乏逻辑性,所以对学生具有一定的迷惑性。如果这时候直接对学生讲使用均值定理需要三个条件:一正,二定,三相等,学生只能被动地接受,而缺少本身的一种体验,对知识的认识仍然是松散的,对知识的运用只能停留在模仿阶段。在这里不妨用另一道题与其对比,让学生进行反思与总结:

已知兩点M1、M2的坐标分别是(-1,0)、(1,0),点P是直线l:x+y=2上的任一点,求|M1P|+|M2P|的最小值。

根据上面的分析思路,|M1P|+|M2P|≥2|M1P|·|M2P|,当|M1P|=|M2P|,即当P点落在上图中的Q(0,2)点时|M1P|+|M2P|取最小值5。有些学生运用几何法:作出M1关于直线l的对称点M′1,计算的M′1的坐标为(-2,1),连结M1M′1与直线l相交于点P,此时|M1P|+|M2P|=|M′1P|+|M2P|≥|M′1M2|最小值为10。这时对于截然不同的答案,学生立刻热情高涨,纷纷发表自己的意见,通过发现矛盾,分析矛盾,再通过自我反思,得出原本解法的错误原因:对均值定理应用的条件理解不足,从而通过自身的体验加深了对知识的理解,同时也提高了自身的数学素养。

二、在知识回顾的过程中培养学生的反思能力

在数学解题过程以后,再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究,并从数学知识、数学思想、学习的启示三个层面进行知识巩固,这是数学解题过程的最后阶段,也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。endprint

1.预习后的反思

预习是上课前对即将要上的数学内容进行阅读,了解其梗概,做到心中有数,以便于掌握听课的主动权。由于预习是学生独立学习的尝试,对学习内容是否正确理解,能否把握其重点、关键,洞察到隐含的思想方法等,都能及时在听课中得到检验、加强或矫正,有利于提高他们的学习能力和养成自学的习惯,所以它是数学学习中的重要一环。所以指导学生如何进行预习后的反思也是相当有必要的。

预习后的反思,是指学生在预习高中数学过程中进行的自我预测和反馈,利用已有知识检测对新知识的了解程度、缺陷程度,以便于把握课堂学习的重点。除了应反思学习新内容所需的旧知识(或预备知识)外,还应该反思预习的基本内容要讲些什么,要解决什么问题,采取的是什么方法,重点关键在那里等等。反思时,可以采用边阅读、边反思、边书写的方式,把内容的要点、层次、联系划出来或打上记号,写下自己的看法或弄不懂的地方与问题,最后确定听课时要解决的主要问题或打算,以提高听课的效率。

2.解题后反思

对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问;是否还有其他解法或更佳解法;能否对问题的题设或结论进行变式;对否把当前的命题推广到一般情况;进一步考虑问题的题设的完备性(充分性)及结论的精确性。

案例4:必修4的课本上的102页例4,在斜三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

在此基础上又设计了几道题目,让学生边思考边反思:

(1)A+B=45°,求tanA+tanB+tanAtanB的值,

(2)求(1+tan22°)(1+tan23°)的值,

(3)求(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°)的值,

(4)设正项等差数列{an},a1+an=π4,求(1+tana1)(1+tana2)…(1+tanan-1)(1+tanan)的值。

课堂上所得的知识是有限的,许多问题的解决要通过学生对信息的联想、创造,通过反思,深刻理解数学知识和数学思想方法,以实现再学习的目的。

案例5:已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:

(a+1a)2+(b+1b)2+(c+1c)2≥1003。

略证:由条件可得:(a+1a)2=(a+1+ba+ca)2以及相应的另外另外两个式子,展开,利用算术平均数不小于它们的几何平均数可证。

反思一:本题的解题思路是什么?本题通过变形1=a+b+c的代换,并且利用了基本不等式的性质。

反思二:是否有其他方法可解?令A=a+1a,B=b+1b,C=c+1c,再利用:13(A2+B2+C2)≥(A+B+C3)2可证。

反思三:能推广吗?设ai>0,∑ni=1ai=1,求证:∑ni=1(ai+1ai)≥(n2+1)2n。

学生在反思原有知识的基础上,对新题进行思考,既巩固了已学知识,又培养了创新能力。因此,解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果,真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力,培养学生的创造精神。

在教学过程中,教师应将易犯错误、难以理解的知识让学生多思考、多反思,这样学生以后就不会或很少犯相同的错误,学生也会对数学的学习充满了兴趣和成就感。建构主义学说认为,学生学习数学的过程不是被动地吸收课本和老师的现成的结论,而是一个充满兴趣,亲自参与的丰富、生动的思维过程,是一个不断反思不断进步的过程,是一个实践和创新的过程。所以我们在数学教学过程中培养学生兴趣,养成学习反思习惯,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,构建知识,训练技能,领会数学思想方法,获得数学活动的经验。

[参考文献]

[1]张绍英.培养和激发学生数学學习兴趣的若干基本途径.中学数学杂志,2004(11).

[2]张掖.新课程理念下的数学教学反思.教育革新,2007(08).endprint

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